Parabola

Za stilsku figuru, pogledajte Parabola (književnost)

Parabola (starogrč. παραβολή, poređenje) je kriva u ravni, koja može da se predstavi kao konusni presek stvoren presekom ravni sa pravim kružnim konusom, pri čemu je ravan paralelna sa izvodnicom konusa. Parabola se može definisati i kao geometrijsko mesto tačaka u ravni koje su jednako udaljene od tačke (fokusa) i date prave (direktrise).

Deo parabole (plavo obojene), sa raznim karakteristikama (u drugim bojama). Kompletna parabola nema krajnje tačke. U ovoj orijentaciji se proteže beskrajno ulevo, udesno i nagore.

Parabola je član porodice Konusni presekkonusnih preseka.

Jedan opis parabole obuhvata tačku (fokus) i liniju (direktorijum). Fokus ne leži na direktrisi. Parabola je geometrijsko mesto tačaka u toj ravni koje su jednako udaljene i od direktrise i od fokusa. Alternativni opis parabole je kao konusni presek, stvoren od preseka desne kružne konusne površine i ravni paralelne drugoj ravni koja je tangencijalna konusnoj površini.

U Dekartovim koordinatama, parabola sa osom paralelnom sa osom y, vrhom u (h, k), sa fokusom u (h, k + p) i direktrisom y = k - p, gde je p rastojanje od vrha do fokusa, opisuje se jednačinom:

$(x-h)^{2}=4p(y-k)\,$

a parabola sa osom paralelnom sa osom x jednačinom

$(y-k)^{2}=4p(x-h)\,$

Još opštije, parabola je kriva u Dekartovom koordinatnom sistemu definisana nesvodljivom jednačinom oblika

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

gde je $B^{2}=4AC\,$, svi koeficijenti su realni brojevi, $A\not =0\,$, $C\not =0\,$, i gde postoji više od jednog rešenja koje definiše tačke parabole (x, y).

Osobine

Parabola je osno simetrična. Osa simetrije prolazi fokusom parabole i okomita je na direktrisu. Rotacijom parabole oko njene ose simetrije nastaje paraboloid.

Za parabolu se kaže da je u normalnom položaju, kada je njena osa paralelna s osom $x$ ili $y$.

Parabola se može definisati kao konusni presek s nagibom koji je jednak jedan. Iz tog proizilazi, da su sve parabole slične. Parabola se može švatiti kao granica niza elipse, u kojoj je jednan od fokusa stacionaran, a drugi se postepeno udaljava do beskonačnosti.

Matematički zapisi

Implicitni zapis

$\|XF\|=\|Xd\|\,\!$

Skup svih tačaka X u ravni, koje imaju istu udaljenost od fokusa F i od direktrise d, koja ne prolazi fokusom F.

Dekartov koordinatni sistem

Standardni opis parabole:

Parabola u dekartovom koordinatnom sistemu

V[m, n] – vrh parabole sa koordinatama m, n
F – fokus parabole
d – direktrisa
o – osa parabola
$|DF|=p$ – veličina parametra, $p>0\,\!$
$|DV|=|FV|={p \over 2}\,\!$
X[x, y] – proizvoljna tačka koja pripada paraboli

Kanonski oblik jednačine

Kanonski (normalni) oblik jednačine parabole u normalnom položaju (osa parabole je paralelna sa osom $x$ te za vrh parabole $V=[x_{0},y_{0}]$) vredi

${(y-y_{0})}^{2}=2p(x-x_{0})$

Za $p>0$ parabola je otvorena desno, a za $p<0$ parabola je otvorena levo. Za $x_{0}=0,y_{0}=0$ dobija se parabola s vrhom u koordinatnom početku.

Fokus tako zadane parabole ima koordinate

$\left[x_{0}+{\frac {p}{2}},y_{0}\right]$

a direktrisa je opisana jednačinom

$x=x_{0}-{\frac {p}{2}}$

Kanonski oblik jednačine parabole s osom u koordinatnoj osi $y$ i vrhom u koordinatnom početku se može zapisati kao

$x^{2}=2py$

Za $p>0$ parabola je otvorena prema gore, a za $p<0$ otvorena je prema dole.

Jednačina konusnog preseka

Ako se u jednačini konusnog preseka uvrsti $a_{11}=a_{12}=0$ i $a_{13}a_{22}\neq 0$, dobija se parabola u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom $x$), koja ima disektrisu

$x={\frac {a_{23}^{2}+a_{13}^{2}-a_{22}a_{23}}{2a_{22}a_{13}}}$

fokus ima koordinate

$F=\left[{\frac {a_{23}^{2}-a_{13}^{2}-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}}},\;-{\frac {a_{23}}{a_{22}}}\right]$

a koordinate vrha su

$V=\left[{\frac {a_{23}^{2}-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}}},\;-{\frac {a_{23}}{a_{22}}}\right]$

Parametar ima vrednost

$|p|=\left|{\frac {a_{13}}{a_{22}}}\right|$

Slično u slučaju $a_{12}=a_{22}=0$ i $a_{11}a_{23}\neq 0$ dobija se parabola u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom $y$). Za direktrisu, fokus, vrh i parametar dobija ase

$y={\frac {a_{13}^{2}+a_{23}^{2}-a_{11}a_{13}}{2a_{11}a_{23}}}$

$F=\left[-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{13}^{2}-a_{23}^{2}-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}}\right]$

$V=\left[-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}}\right]$

$|p|=\left|{\frac {a_{23}}{a_{11}}}\right|$

Parabola se iz opšteg do normalnog položaja može prevesti rotacijom koordinatnog sistema o ugao $\alpha$ datog izrazom

$\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}}$

Karakteristike parabole u odnosu na njen položaj

• Osa parabole $o$ je paralelna s osom $x$ imajući minimum (tačka V) na osi $x$.

Parabola u Dekartovom koordinatnom sistemu usmerena ka pozitivnom delu ose x

Temena jednačina:

$(y-n)^{2}=2p(x-m)\,\!$

Parametarska jednačina:

$x={p \over 2}t^{2}+m\,\!$

$y=pt+n\,\!$

Oššta jednačina:

$y^{2}+Ax+By+C=0,A\neq 0\,\!$

Jednačina direktrise:

$x=m-{p \over 2}\,\!$

Jednačina tangente u tački $T[x_{0},y_{0}]$:

$(y-n)(y_{0}-n)=p(x+x_{0}-2m)\,\!$

Osa parabole $o$ je paralelna sa osom $x$ imajući maksimum (tačka V) na osi $x$.

Parabola u Dekartovom koordinatnom sistemu usmerena ka negativnom delu ose x

Temena jednačina:

$(y-n)^{2}=-2p(x-m)\,\!$

Parametarska jednačina:

$x=-{p \over 2}t^{2}+m\,\!$

$y=-pt+n\,\!$

Opšta jednačina:

$y^{2}+Ax+By+C=0,A\neq 0$

Jednačina direktrise:

$x=m+{p \over 2}\,\!$

Jednačina tangente u tački $T[x_{0},y_{0}]$:

$(y-n)(y_{0}-n)=-p(x+x_{0}-2m)\,\!$

• Osa parabole $o$ je paralelna sa osom $y$ imajući minimum. Konveksna parabola.

Parabola u Dekartovom koordinatnom sistemu usmerena ka pozitivnom delu y

Temena jednačina:

$(x-m)^{2}=2p(y-n)\,\!$

Parametarska jednačina:

$x=pt+m\,\!$

$y={p \over 2}t^{2}+n\,\!$

Opšta jednačina:

$x^{2}+Ax+By+C=0,B\neq 0$

Jednačina direktrise:

$y=n-{p \over 2}\,\!$

Jednačina tangente u tački $T[x_{0},y_{0}]$:

$(x-m)(x_{0}-m)=p(y+y_{0}-2n)\,\!$

• Osa parabole $o$ je paralelna s osom $y$ imajući maksimum. Konkavna parabola.

Parabola u Dekartovom koordinatnom sistemu usmerena ka pozitivnom delu y

Temena jednačina:

$(x-m)^{2}=-2p(y-n)\,\!$

Parametarska jednačina:

$x=-pt+m\,\!$

$y=-{p \over 2}t^{2}+n\,\!$

Opšta jednačina:

$x^{2}+Ax+By+C=0,B\neq 0$

Jednačina direktrise:

$y=n+{p \over 2}\,\!$

Jednačina tangente u tački $T[x_{0},y_{0}]$:

$(x-m)(x_{0}-m)=-p(y+y_{0}-2n)\,\!$

Uzajamni odnos parabole i prave

Ako se reši sistem jednačina parabole i prave. Ukoliko se dobije linearna jednačinu, koja ima rešenja - prava seče parabolu u jednoj tački. Ukoliko linearna jednačina nema rešenja - prava i parabola se mimoilaze. Ukoliko se dobije kvadratna jednačina i diskriminanta $D$ je:

• D > 0 dva rešenja - prava seče parabolu u dve tačke
• D = 0 jedno rešenje - prava je paraboli tangenta
• D < 0 nema rešenja - prava i parabola se mimoilaze

Polarni koordinatni sistem

Parabola s fokusom u početku koordinatnog sistema i s vrhom na negativnoj poluosi x zapisuje se pomoću jednačine:

$r(1-\cos \varphi )=p\,$

gde $p>0$ je parameter parabole.

Iz tog je vidljivo, da parametar parabole ima takođe značenje polovine dužine tzv. latus rectum, tako da je i tetiva konusnog preseka normalna na glavnu osu u fokusu $F$. Kod parabole se ta vrednost izjednačava sa četverostrukom dužinom fokusne udaljenosti.

Polarnom jednačinom je moguće dokazati, da parabola nastane kružnom inverzijom kardiode.

Parabola u realnom svetu

Trajektorije tela koja se kreću u homogenom gravitacijskom polju su parabole. Po paraboli se takođe kreću tela u centralnim gravitacijskim poljima, ako je njihova brzina tačno jednaka drugoj kosmičkoj brzini, a smer im se poklapa sa smerom tog polja. Npr. put, po kojem se kreću neke kometi, su veoma slične paraboli.

Ako se zrak koji prilazi paraboli (ili paraboloidu) paralelno sa osom simetrije odbije od parabole/paraboloida, prolaziće fokusom. To je razlog, zašto se proizvode parabolična ogledala i antene (npr. kod automobila, dvogleda, telekomunikacijskih satelita i sl.).

Literatura

• Lockwood, E. H. (1961). A Book of Curves. Cambridge University Press. 
• „Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Deriving the Symptom of the Parabola – Mathematical Association of America”. Pristupljeno 30. 9. 2016. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (2 izd.). Springer. str. 3. ISBN 3-540-40106-7.  Extract of page 3.
• Fitzpatrick, Richard (14. 7. 2007). „Spherical Mirrors”. Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Pristupljeno 5. 10. 2011. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Parabola”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Parabola”. MathWorld. 
• Stargazer
• Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
• Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
• Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
• Parabolic Mirror at cut-the-knot
• Three Parabola Tangents at cut-the-knot
• Focal Properties of Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope II at cut-the-knot
• The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659