Otvori glavni meni

Википедија β

Mandelbrotov skup je čuveni primer fraktala.

Fraktal je „geometrijski lik koji se može razložiti na manje delove tako da je svaki od njih, makar približno, umanjena kopija celine“.[1] Još se kaže da je takav lik sam sebi sličan. Termin je izveo Benoa Mandelbrot 1975.[2] godine iz latinske reči fractus koja ima značenje „slomljen“, „razlomljen“.

Fraktal često ima sledeće osobine:[3][4]

Pošto se čine sličnim na svim nivoima uvećanja, fraktali se često smatraju beskonačno kompleksnim u neformalnom smislu reči. Prirodni oblici koji aproksimiraju fraktale do izvesne granice su oblaci, planinski venci, munje, morske obale, i snežne pahuljice. Međutim, nisu svi objekti koji su sami sebi slični istovremeno i fraktali – primer je realna prava koja je formalno sama sebi slična, ali ne poseduje ostale osobine fraktala.

Sadržaj

IstorijaUredi

 
Animirana konstrukcija trougla Sjerpinjskog.

Matematika koja se nalazi u osnovi fraktala počela je da poprima svoj oblik u 17. veku kada je matematičar i filozof Lajbnic razmatrao osobinu rekurzivne sličnosti samom sebi, iako je on, greškom, smatrao da je samo prava linija slična samoj sebi u tom smislu. Tek 1872. godine pojavljuje se prva funkcija čiji bismo grafik danas smatrali fraktalom, kada je Karl Vajerštras definisao funkciju koja je imala neintuitivnu osobinu da je na celoj oblasti definisanosti bila neprekidna, ali da ni u jednoj tački nije bila diferencijabilna. Tri decenije kasnije, 1904. godine Helg Koh, nezadovoljan Vajerštrasovom previše apstraktnom i analitičkom definicijom, u svom radu O jednoj neprekidnoj krivoj bez tangenti, dobijenoj pomoću elementarne geometrijske konstrukcije (Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire) objavljenom u časopisu Arkivfor Matematik[7][8] daje geometrijski definiciju krive koja je danas poznata kao Kohova pahuljica. 1915. godine Vaclav Sjerpinjski je konstruisao svoj trougao, a godinu dana kasnije i tepih Sjerpinjskog. U originalu, svi ti geometrijski fraktali su bili opisani kao krive, a ne kao dvodimenzionalni oblici, kako se tretiraju u modernim definicijama. Ideju o krivama koje su slične same sebi je dalje razvio Pol Pjer Levi, koji je 1938. godine u svom radu Ravanske ili prostorne krive i površi koje su sastavljene od delova sličnih celini (Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole) opisao novu fraktalnu krivu, poznatu danas kao Levijeva C kriva.

I Georg Kantor je, u periodu 1879—1884, kada je objavljivao seriju od šest članaka koji su zajedno bili uvod u njegovu teoriju skupova, razmatrao primere podskupova realne prave sa neuobičajenim osobinama. Ti Kantorovi skupovi su danas svrstani u fraktale.

Pred kraj 19. i početkom 20. veka Anri Poenkare, Feliks Klajn, Pjer Fatu i Gaston Žulija su istraživali iterirajuće funkcije u kompleksnoj ravni. Međutim bez pomoći grafike savremenih računara, nisu imali mogućnost vizuelizacije lepote većine objekata koje su otkrili.

Benoa Mandelbrot je šezdesetih godina 20. veka počeo da se bavi samosličnošću u svojim radovima kao što je članak Koliko je dugačka britanska obala? Statistička samosličnost i razlomljene dimezije (How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension), zasnovan na jednom ranijem delu koje je objavio Luis Fraj Ričardson.

Napokon, 1975. godine, Mandelbrot je upotrebio reč „fraktal“ da njome označi objekat koji je imao osobinu da mu je Hauzdorfova dimenzija veća od topološke. Tu matematičku definiciju je ilustrovao zadivljujućom vizuelizacijom dobijenom pomoću računara. Većina generisanih slika bila je zasnovana na rekurziji, i time odredila opšteprihvaćeno značenje reči „fraktal“.

Oblasti pojavljivanja i primene fraktalaUredi

Fraktali se često pojavljuju kao atraktori dinamičkih sistema, čak i u situacijama koje se čine prilično jednostavnim (npr. Žulijin skup). U kompjuterskoj grafici, fraktali se koriste za generisanje slika koje predstavljaju prirodne objekte[9]: oblake, sneg, morske obale, planinske vence, hrpe otpada...

Klasifikacija fraktalaUredi

Prema osnovnoj podeli razlikuju se

  • geometrijski,
  • algebarski i
  • stohastični fraktali.

Pored toga, fraktali se, prema postanku, mogu podeliti na prirodne i veštačke, gde se pod veštačkim fraktalima podrazumevaju oni do kojih su došli naučnici, a koji, pri proizvoljnom uvećanju, zadržavaju osobine fraktala. Kod prirodnih fraktala se javlja ograničenost oblasti egzistencije - postoje maksimalna i minimalna veličina razmere objekta za koju on poseduje fraktalne osobine.

Polazni Mandelbrotov skup Uvećanje šest puta Uvećanje 100 puta Fini detalji podsećaju
na polazni skup

Fraktali se još dele na

  • determinisane (ovde spadaju geometrijski i algebarski fraktali) i
  • nedeterminisane (stohastične fraktale).

U odnosu na stepen samosličnosti, fraktali mogu biti:

  • potpuno samoslični - najveći stepen samosličnosti. Fraktal je identičan samom sebi na proizvoljnom nivou uvećanja. Ovu osobinu imaju fraktali koj se dobijaju pomoću iterativnih funkcija.
  • skoro samoslični - manje strog oblik samosličnosti; fraktal deluje približno (ali ne i potpuno) identičan samom sebi na različitim nivoima uvećanja. Ovakve fraktale čine umanjene kopije celog fraktala u izobličenim i degenerisanim oblicima. Obično su to fraktali koji se dobijaju pomoću rekurentnih veza.
  • statistički samoslični - najniži nivo samosličnosti. Fraktal poseduje numeričke ili statističke mere koje se čuvaju kroz uvećanje ili umanjenje. Najjednostavnije definicije fraktala trivijalno ukazuju na neku vrstu statističke samosličnosti (fraktalna dimenzija je sama po sebi numerička veličina koja se ne menja sa uvećanjem, odnosno umanjenjem). Ovde spadaju fraktali generisani stohastičkim procesima.

Geometrijski fraktaliUredi

Geometrijski fraktali su prvi fraktali koje su izučavali matematičari u 19. veku, zahvaljujući njihovoj očiglednosti, odnosno zato što je kod njih odmah primetna osobina samosličnosti.

Dvodimenzione geometrijske fraktale je moguće dobiti zadavanjem proizvoljne krive koja će poslužiti kao generator. Zatim se, u svakom sledećem koraku, srednji deo te krive zameni generatorom - umanjenim likom cele krive. Beskonačnim ponavljanjem ovog postupka dobija se izlomljena fraktalna kriva. Iako je ta kriva veoma složena, njen opšti oblik moguće je zadati samo generatorom. Na taj način mogu se generisati zmajeva kriva, Kohova kriva, Levijeva kriva, kriva Minkovskog, Peanova kriva i Hilbertova kriva.

Pored navedenih fraktalnih krivih, u geometrijske fraktale spadaju i Kantorov skup, kao i njegova višedimenziona uopštenja, Kantorova prašina (u ravni) i Kantorov oblak (u prostoru), trougao Sjerpinjskog, tepih Sjerpinjskog, Pitagorino drvo i Mengerov sunđer.

Beskonačno guste kriveUredi

Beskonačno guste krive su fraktalne krive koje nakon beskonačnog broja iteracija potpuno prekrivaju deo  -dimenzionog prostora u kojem se nalaze ( ). Tako će beskonačno gusta kriva u ravni zauzimati svaku tačku npr. kvadrata, a u trodimenzionom prostoru svaku tačku kocke. Prvi ih je opisao italijanski matematičar Đuzepe Peano, pa se sve one ponekad nazivaju Peanovim krivama.

SvojstvaUredi

Fraktalne dimenzije svih beskonačno gustih krivih odgovaraju topološkoj dimenziji prostora u kojem se nalaze, baš zato što ispunjavaju čitav taj prostor, iako je njihova topološka dimenzija uvek  . Dakle, fraktalna dimenzija beskonačno gustih krivih u ravni (jediničnom kvadratu) je  , u prostoru (jediničnoj kocki) je   itd.

Peanova krivaUredi

Peanova kriva je prva opisana beskonačno gusta kriva. Nju je 1890. godine opisao italijanski matematičar Đuzepe Peano.[10]

KonstrukcijaUredi

Peanova kriva se konstruiše nizom iteracija. Prva iteracija je zadata kakva jeste. Narednu iteraciju dobijamo na sledeći način:

  • Prethodnu iteraciju posmatramo kao kvadrat i podelimo ga na 9 novih kvadrata jednakih veličina.
  • Svaki od tih kvadrata zamenimo 9 puta umanjenim kvadratom iz prethodne iteracije.
  • Zatim se izvrši horizontalna, odnosno vertikalna refleksija kvadrata, kako bi spajanje bilo korektno izvršeno.
  • Na kraju, krive u kvadratima se spoje u jednu neprekidnu krivu.
Prve tri iteracije Peanove krive


Postoji veliki broj varijanti Peanovih krivih, u zavisnosti izgleda prve iteracije i podele na kvadrate.

Hilbertova krivaUredi

 
Animirana konstrukcija Hilbertove krive u prvih 8 iteracija

Pri konstrukciji Hilbertove krive koristi se ideja bazirana na podeli kvadrata na 4 manja, umesto na 9 manjih kvadrata jednakih veličina.

Hilbertova kriva je beskonačno gusta kriva koju je opisao nemački matematičar David Hilbert 1891.[11] godine.

Hauzdorfova dimenzija Hilbertove krive je  . Iako je Hilbertova kriva u ravni ograničena kvadratom, njena dužina eksponencijalno raste sa brojem iteracija i iznosi  .

KonstrukcijaUredi

Konstrukcija je slična konstrukciji Peanove krive. Prvo, zadaju se dve početne iteracije (onakve kakve jesu), a zatim se u svakoj narednoj iteraciji svi segmenti slični krivoj iz prve iteracije zamene čitavom krivom iz druge iteracije. Dalja konstrukcija se može izvršiti na dva načina, iako je rezultat potpuno isti:

  •  -tu iteraciju dobijemo ako u  -oj iteraciji svaki segment sličan krivoj iz prve iteracije zamenimo čitavom drugom iteracijom.
  •  -tu iteraciju dobijemo ako u  -oj iteraciji svaki segment sličan krivoj iz prethodne iteracije zamenimo tom čitavom iteracijom.
Prva iteracija Prva i druga iteracija Prve tri iteracije

Hilbertova kriva u prostoru se pravi jednostavnom analogijom.

Prva iteracija Druga iteracija Treća iteracija Četvrta iteracija

Konstrukcija korišćenjem L-sistemaUredi

  • Početak: 
  • Pravila:
    •   
    •   
  • Značenje:
    •    "crtaj napred"
    •     "okreni u smeru kazaljke na satu za   "
    •     "okreni u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu za   "

PrimeneUredi

Hilbertova kriva ima višestruke primene u raznim oblastima, a najviše u računarstvu i informatici. Koristi se kod IP adresa računara, kako bi mogla da se konstruiše slika mreže. Kod za generisanje slike će pretvoriti 2D u 1D da bi našao boju svakog piksela, a Hilbertova kriva se ponekad koristi jer bliske IP adrese u slici čuva jednu blizu druge. Takođe je našla primenu u multidimenzionim bazama podataka - pri traženju zapisa mogu pomoći u određivanju prioriteta pretrage. Koriste se i pri izradi crno-belih fotografija. Hilbertove krive u većim dimenzijama predstavljaju generalizaciju Grejevog koda, i koriste se u slične svrhe.


Algebarski fraktaliUredi

Algebarski fraktali su oni fraktali za čiju se konstrukciju koriste iterativne nelinearne funkcijekoje se zadaju jednostavnim algebarskim formulama.

 
Nule funkcije trećeg stepena u kompleksnoj ravni - sve tačke iste boje konvergiraju ka jednom rešenju

U 16. veku italijanski matematičari su razvili egzaktne formule za rešavanje algebarskih jednačina trećeg i četvrtog stepena, a početkom 19. veka matematičar Nils Abel dokazao je da ne postoje univerzalne metode kojima bi se rešavale jednačine petog i višeg stepena. No, takve se jednačine mogu rešavati aproksimativno, do potrebne tačnosti. Metode aproksimativnog rešavanja jednačina razvijale su se tokom više vekova. Isak Njutn je razvio speciifčnu iterativnu metodu koju je kasnije usavršio Džozef Rafson.

Aproksimacija funkcija
 
 

Pretpostavimo da nula neprekidne funkcije pripada intervalu  . Odaberemo jednu od krajnjih tačaka intervala, na primer  , i odredimo tangentu u njoj. Označimo tačku preseka   tangente i apscise i postupak ponovimo primenjen na interval  . Postupak ponovaljamo sve dok ne postignemo zadovoljavajuću tačnost rešenja, odnosno dok posmatrani interval ne postane dovoljno mali.

Treba primetiti da u slučajevima sa slika sa strane aproksimativna rešenja postaju sve bliža stvarnom rešenju, odnosno konvergiraju mu, iako su kod leve funkcije "susedna" aproksimativna rešenja uvek sa suprotne strane stvarnog.

Ova metoda može se primeniti i na kompleksnu ravan. Razmotrimo nule kompleksne funkcije  .

Iz grafika sa strane vidimo da su granice tri skupa složene te da daljim povećavanjem dobijamo sve veću složenost. Osim toga, granična područja sadrže područja koja su potpuno slična područjima u kojima se nalaze. Drugim rečima, ona poseduju svojstvo samosličnosti, odnosno to su fraktali.

Žulijin skupUredi

 
Žulijin skup

Žulijin skup (u širem smislu) je granica skupova tačaka   u kojima niz   konvergira i skupa tačaka za koje taj niz divergira. Ovde   može biti bilo koja funkcija.

Žulijin skup (u užem smislu) dobijamo ako za funkciju   izaberemo  .

Dobio je ime po francuskom matematičaru Gastonu Žuliji[12].

KonstrukcijaUredi

Ako se za svaku tačku kompleksne ravni   definiše niz  , gde je   može biti bilo koja funkcija, možemo definisati dva skupa:skup tačaka  za koje definisani niz konvergira i skup tačaka   za koje taj niz divergira, odnosno teži u beskonačnost[13]. Žulijin skup (u širem smislu) je granica tih skupova. Obično se Žulijin skup, kao i svi algebraski fraktali, prikazuje tako da su tačke koje konvergiraju crne, a one koje divergiraju u raznim nijansama iste ili različitih boja . Nijansa boje zavisi od brzine kojom niz raste – što se više odmičemo od Žulijinog skupa, niz brže raste. Menjanjem konstante   u Žulijinom skupu u užem smislu dobijamo najrazličitije skupove[14].

PovezanostUredi

Žulijin skup je povezan ako je skup koji okružuje kompaktan.[13]. Ova je osobina vrlo važna za definiciju Mandelbrotovog skupa.

Mandelbrotov skupUredi

 
Mandelbrotov skup u kompleksnoj ravni

Mandelbrotov skup je najsavršeniji od svih fraktala. Određen je rekurentnom funkcijom  , gde je   kompleksan broj takav da je Žulijin skup povezan.

Tačnije, Mandelbrotov skup je skup svih kompleksnih brojeva   takvih da je, za početni uslov  , moduo kompleksnog broja   ograničen.

Sve tačke Mandelbrotovog skupa   leže unutar kruga poluprečnika 2. Naime:

 

 .

Razni samoslični fraktali, kojima pripada i Mandelbrotov, najjednostavnije se konstruišu uz pomoć "escape - time" algoritma.

Pseudo kod za crtanje Mandelbrotovog skupa:

ulaz: sirina i visina ekrana;
      maksimalni broj iteracija max_iter;
      niz[];

begin

for i := 0 to visina do
  for j := 0 to sirina do

    Re_c = (j - sirina / 2) * 4 / sirina;
    Im_c = (i - visina / 2) * 4 / sirina;

    x = 0; y = 0;
    iter = 0;

    while x * x + y * y <= 4 and iter < max_iter do
      tmp = x * x - y * y + Re_c;
      y = 2 * x * y + Im_c;
      x = tmp;
      iter++;

    if iter < max_iter then
      oboji_piksel(j, i, boja[iter]);
    else
      oboji_piksel(j, i, crno);

end

Gorući brodUredi

Gorući brod je fraktal kojeg su opisali Majkl Miketliš i Oto Rosler 1992. Konstruiše se na sličan način kao i Žulijin skup: za svaku tačku kompleksne ravni   odredi niz tačaka   tako da je   i  . Tačke koje nakon mnogo iteracija konvergiraju ka jednoj vrednosti pripadaju skupu, pa se oboje jednom bojom. Ostale tačke divergiraju i oboje se razlicitim nijansama, zavisno od toga koliko brzo divergiraju.

 
Gorući brod je skup belih tačaka
 
Uvećan donji levi deo slike levo koji pokazuje samosličnost fraktala

Njutnov fraktalUredi

 
Njutnov fraktal za polinom sedmog stepena

Njutnova metoda za nalaženje korena funkcije se bazira na, takođe, iterativnom procesu. Njutnov fraktal je upravo granica skupa u kompleksnoj ravni definisanog Njutnovim metodom primenjenim na polinom kompleksnog broja. Sa Mandelbrotovim skupom, Njutnov metod je povezan na najneverovatniji način. Ispitivan je Njutnov metod nad određenom kubnom kompleksnom funkcijom. Na kompleksnoj ravni sa tri boje su obeležavane tačke koje bi kao početne dovele do otkrivanja korena jednakom  , tačke koje bi konvergirale ka nekom od preostala dva korena i tačke koje su upadale u cikluse između bar dva korena. Uveličavanjem dobijene slike otkriven je fraktal Mandelbrotovog skupa, onako kako ga znamo za kvadratnu iterativnu funkciju, a pripadao je oblasti tačaka koje nisu konvergirale ka samo jednom korenu.

Za neke veoma jednostavne fizičke sisteme (mehanički, magnetni, optički, itd.) pokazuje se da su atraktorske oblasti korenova izrazito fraktalno razlomljene i jednostavni sistemi postaju praktično nepredvidljivi. Njihovo konačno stanje drastično zavisi od početnih uslova i ovo je prva naznaka povezanosti fraktala i haosa.

Vidi jošUredi

ReferenceUredi

  1. Mandelbrot (1982)
  2. Edgar, Gerald (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. New York: Springer Science+Business Media. str. VII. ISBN 978-0-387-74748-4. 
  3. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications}-, str. -{xxv
  4. Falconer (1982)
  5. Briggs (1992). стр. 148.
  6. The Hilbert curve map is not a homeomorhpism, so it does not preserve topological dimension. The topological dimension and Hausdorff dimension of the image of the Hilbert map in R2 are both 2. Note, however, that the topological dimension of the graph of the Hilbert map (a set in R3) is 1.
  7. Novak, Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. стр. 177.
  8. Miroslav M. Novak, ур. (2004). Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 978-981-238-822-3. 
  9. "Hunting the Hidden Dimension." Nova. PBS. WPMB-Maryland. 28 October 2008.
  10. Peano, G. (1890), „Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane”, Mathematische Annalen, 36 (1): 157—160, doi:10.1007/BF01199438 
  11. D. Hilbert: Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück. Mathematische Annalen 38 (1891), 459—460.
  12. Gaston Julia (1918) "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles," Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 8, pages 47—245.
  13. 13,0 13,1 Beardon, Iteration of Rational Functions, Theorem 5.6.2
  14. Peitgen & Richter (1986)

ЛитератураUredi

  • Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter (1986). The Beauty of Fractals. Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-15851-8. 
  • Mandelbrot, B.B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
  • Edgar, Gerald (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. New York: Springer Science+Business Media. стр. VII. ISBN 978-0-387-74748-4. 
  • Falconer, Kenneth (1982). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  • Miroslav M. Novak, ур. (2004). Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 978-981-238-822-3. 

Спољашње везеUredi