Aberacioni polinomi Zernikea

Aberacioni polinomi Zernikea, Zernike polinomi, ili Zernike aberacioni polinomi (takođe, Zernike aberacije) su polinomi koji su u osnovnom opštem obliku ortogonalnog polinoma

         $P_{n}^{m}{(\rho ,\theta )}\,=\,R_{n}^{m}(\rho )\,U(m\theta )$       (1)

ortogonalni nad površinom jediničnog kruga. U obliku ortonormalnog polinoma, opšteg oblika

         $Z_{n}^{m}{(\rho ,\theta )}\,=\,N_{n}^{m}\,P_{n}^{m}(\rho ,\theta )$       (1.1)

uključuju činilac poravnanja $N_{n}^{m}$, koji ih čini ortonormalnim nad površinom kruga. Opšti oblik polinoma sa dodatim koeficijentom proširenja $z_{nm}$, neophodnoim za izražavanje veličine aberacije,

         $Z_{j}{(\rho ,\theta )}\,=\,N_{n}^{m}\,P_{n}^{m}(\rho ,\theta )z_{nm}$       (1.2)

predstavlja Zernike aberacioni izraz, gde je j redni broj aberacionog izraza u Zernike nizu - koji predstavlja Zernike aberacionu funkciju - zasnovan na vrednosti brojnih činilaca n i m.

U osnovnom obliku, polinomi opisuju različite trodimenzionalne oblike odstupanja od ravni kruga jediničnog poluprečnika - tzv. jediničnog kruga. Odstupanja od ravni kruga - tzv. nulte ravni, ili ravni nule - su jednaka odstupanjima talasnog fronta od najbolje poredbene sfere; drugim rečima, ravan kruga predstavlja poredbenu sferu, a oblik odstupanja od nje opisuje optičku aberaciju.

Širi opis

Tri osnovna oblika Zernike polinoma su ortogonalni, ortonormalni i Zernike aberacioni izraz. Delovi opštih oblika polinoma su:

• $R_{n}^{m}(\rho )$, tzv. radijalni polinom kruga, ili funkcija radijalne koordinate, koja izražava zavisnost u odnosu na vrednost radijalne koordinate ρ,
• $U(m\theta )$, ugaona učestalost, ili funkcija ugaone koordinate, koja može biti sinus ili kosinus ugla mθ, i određuje (ceo) broj ciklusa u rasponu ugaone koordinate, od 0 do 2π radijana (360 stepeni)
• $N_{n}^{m}$, činilac poravnanja, ili činilac normalizacije, koji koji omogućava da se različiti oblici odstupanja neposredno dodaju i oduzimaju na nivou RMS greške, i
• $z_{nm}$, koeficijent proširenja, čija je apsolutna vrednost jednaka RMS grešci pripisanoj određenom obliku odstupanja

Osnovni oblik Zernike polinoma je tzv. ortogonalni polinom, koji se sastoji od radijalnog polinoma $R_{n}^{m}(\rho )$ i ugaone učestalosti $U(m\theta )$. Ortonormalni polinom se sastoji od ortogonalnog polinoma pomnoženog sa činiocem poravnanja (ili normalizacije) $N_{n}^{m}$. Oblik polinoma koji se koristi u proračunima, tzv. Zernike aberacioni izraz (eng. Zernike aberration term), je ortonormalni polinom pomnožen sa koeficijentom proširenja $z_{nm}$, što je činilac koji određuje veličinu datog oblika odstupanja.

SLIKA 1: JEDINIČNI KRUG ZERNIKEA, OSNOVNE FUNKCIJE ABERACIONOG IZRAZA

Širenjem opšteg oblika polinoma od najjednostavnijih prema složenijim polinomima stvara se aberaciona funkcija, koja može da sadrži neograničen broj polinoma, tj. neograničen broj različitih oblika odstupanja talasnog fronta od sfernog. Pridavanjem potrebnih veličina odgovarajućim članovima (tj. polinomima) ove funkcije, može da se izraze najrazličitiji oblici odstupanja talasnog fronta od sfernog, i posluži kao osnova da se odrede posledice odstupanja po kakvoću optičke slike.

Slika desno pokazuje jedinični krug, u kom su koordinate tačke određene u polarnim koordinatama, radijalnom visinom ρ i uglom $\theta$ radijusa na kome tačka leži (A). Koordinate tačke takođe mogu biti date u Kartezijanskom (Dekartovom) koordinatnom sistemu sa nulom u središtu kruga, kao (x,y). Radijalni polinom $R_{n}^{m}(\rho )$ određuje oblik promene odstupanja sa visinom tačke na radijusu, dok ugaona funkcija $Um\theta$ određuje promenu oblika odstupanja sa obrtnim uglom (B, gde je W_(ρ,θ) odstupanje talasnog fronta). Ugaona učestalost $m$ određuje koliko punih ciklusa od najmanje do najveće vrednosti odstupanja ima unutar punog ugla od 2π radijana (360 stepeni), i jednak je broju ciklusa (V).

Nastanak

Osnovni oblik polinoma, kao teoriju ortogonalnih polinoma kruga, postavio je 1934-te holandski nobelovac Fric Zernike. Posle 1934. godine, osnovni oblik polinoma je obrađivan i prilagođavan u svrhu upotrebe u istraživanjima različitih oblasti optike, od teorije difrakcije (Ben Nijboer) do rekonstrukcije talasnog fronta u svrhu određivanja osobina optičke slike. Za ovu poslednju svrhu uobičajeno je da se, makar u osnovi, koristi obrada Zernike polinoma Emila Volfa (Principles of Optics, Born and Wolf).

Upotreba

Osnovna upotreba Zernike polinoma je za određivanje svojstava odstupanja talasnog fronta u sklopovima sa kružnim ili prstenastim optičkim otvorom. Postupkom ukrajanja potrebnog broja polinoma u dati složeni oblik odstupanja, dobija se podatak o tome koje aberacije su prisutne, i koje su najveće. Postupak ukrajanja se često naziva "razgradnja" (eng. decomposition) talasnog fronta na Zernike polinome, tj. na Zernike izraze ili aberacije.

SLIKA 2: UKRAJANjE ZERNIKE IZRAZA U ODSTUPANjE TALASNOG FRONTA

Slika desno je jednostavan primer uklapanja Zernike aberacija u dato odstupanje talasnog fronta. Kompjuterski program je svakom od prvih 16 Zernike izraza pripisao odgovarajuću vrednost (u jedinici talasne dužine svetlosti λ), tako da zbir ovih 16 Zernike aberacija proizvodi dati oblik odstupanja (vrednost viših Zernike aberacija je u ovom slučaju jednaka nuli, kao što je i vrednost sinusnih aberacionih izraza, koji nisu potrebni za rekonstrukciju ovog oblika odstupanja).

Pošto je zbirna veličina Zernike aberacija, kao RMS greška, jednaka kvadratnom korenu zbira kvadrata RMS greški pojedinačnih aberacija, jedine dve aberacije bitne za ovaj oblik odstupanja su #4 i #6. Drugim rečima, dati oblik odstupanja je posledica prisustva dve aberacije, astigmatizma i kome. U slučaju astigmatizma, RMS greška Zernike aberacije je data deljenjem apsolutne vrednosti Zernike aberacije sa √6, a u slučaju kome deljenjem apsolutne vrednosti Zernike aberacije sa √8 (za dobijanje RMS greške za ostale Zernike aberacije vidi Činilac poravnanja).

Potrebno je primetiti da program definiše θ kao ugao nalevo od uspravne (u) ose, što znači da je orijentacija mape odstupanja pomerena za 90° u odnosu na orijentaciju sa θ merenim od vodoravne (x) ose, kao na slici 1. Ovo je u načelu pogodnije za programe za praćenje zraka, jer dovodi osu mape u poklapanje sa osom aberacije, koja je u osnovnom okviru obično uspravna.

Uz potrebno prilagođavanje, polinomi mogu da se koriste i za sklopove sa drugačijim oblikom otvora, kad su, u načelu, manje praktičan način izražavanja aberacija nego u slučaju kružnog i prstenastog otvora).

Polinomi se koriste ne samo u oblasti sklopova za stvaranje optičke slike, nego i u oblasti lasera, fajber optike, i drugim. Zernike polinomi se takođe koriste van industrijske optike, u oftalmologiji, kao i za analizu ne-optičkih površina i njihovih osobina u različitim oblastima.

Ortogonalni polinomi kruga

Opšti oblik ortogonalnog Zernike polinoma kruga dat je sa:

        $P_{n}^{m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )U(m\theta )$      (2)

gde je $R_{n}^{m}(\rho )$ tzv. radijalni polinom kruga, koji prestavlja radijalnu promenljivu, ili funkciju radijalne koordinate, koja izražava zavisnost u odnosu na vrednost radijalne koordinate ρ, dok je Umθ ugaona učestalost, ili funkcija ugaone koordinate, koja određuje (ceo) broj ciklusa u rasponu ugaone koordinate, od 0 do 2π radijana (360 stepeni).

Radijalni polinom kruga $R_{n}^{m}(\rho )$ je određen opštim izrazom:

       $R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{s=0}^{\frac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{s}(n-s)!}{s!({\frac {n+m}{2}}-s)!({\frac {n-m}{2}}-s)!}}$        (3)

i predstavlja polinom n-tog stepena koji sadrži ρⁿ, ρ^(n-2)...ρ^m. Polinomi sa parnim n se nazivaju parni, a oni sa neparnim n neparni.

U slučaju odsustva obrtne osne simetrije elemenata sklopa, ili u slučaju odsustva takve simetrije u obliku odstupanja talasnog fronta, svaki polinom uključuje ugaonu funkciju $Um\theta$ po kosinusu i sinusu, tj. predstavljen je sa kosinusnim i sa sinusnim ortogonalnim polinomom:

             $P_{n}^{m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )cos\,m\theta$       (4)
             $P_{n}^{m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )sin\,m\theta$       (4.1)

Za bilo koju datu aberaciju, oblik odstupanja od nulte ravni je isti za kosinusni i sinusni polinom. Razlika je u orijentaciji, pošto je sinusni polinom zakrenut za polovinu punog ciklusa ugaone frekvencije, tj. za 360/2m stepeni, u smeru suprotnom smeru kazaljke na satu. U slučaju postojanja obrtne osne simetrije, sinusni polinom je jednak nuli, i preostaje samo kosinusni.

Skup polinoma kruga izvedenih iz opšteg oblika mora da ispunjava uslov da su n i m celi pozitivni brojevi, uključujući nulu, i da je n-m pozitivan paran broj (takođe uključujući nulu). Ovako izraženi, polinomi se nazivaju zajedničkim imenom ortogonalne Zernike aberacije.

Niz ortogonalnih polinoma

SLIKA 3: ZERNIKE ORTOGONALNI POLINOMI

Na slici desno je prikazana šema nizanja ortogonalnih polinoma Zernikea sa prvih 25 polinoma, ili do n+m=8, gde redosled nizanja prati veličinu zbira n+m, a za isti zbir prvenstvo ima polinom sa većim n (moguće su i postoje drugačije šeme nizanja) .

Pošto je brojni činilac n u Zernike polinomu jednak najvišem izložiocu nad visinom tačke ρ u optičkom otvoru u odgovarajućoj klasičnoj aberacionoj funkciji, a brojni činilac m u Zernike polinomu jednak izložiocu nad visinom tačke u ravni slike u odgovarajućoj klasičnoj aberacionoj funkciji, Zernike polinomi sa n+m=4 odgovaraju klasičnim primarnim aberacijama četvrtog reda, tj. primarnim aberacijama talasnog fronta, polinomi sa n+m=6 sekundarnim klasičnim aberacijama, polinomi sa n+m=8 tercijarnim klasičnim aberacijama, itd. Tačnije, Zernike polinomi predstavljaju odgovarajuću klasičnu aberaciju u njenoj najboljoj žiži, gde je najbolja žiža definisana kao ona sa najnižom RMS greškom talasnog fronta.

Sinusni polinom se često označava sa negativnim m u $Z_{n}^{m}$, što proističe iz rasporeda polinoma u tzv. Zernike piramidi, gde su polinomi sa m=0 u sredini piramide, kosinusni polinomi sa desne (pozitivne), a sinusni polinomi sa leve (negativne) strane.

Prvi polinom, sa n=m=0, piston, predstavlja nultu ravan. On može da predstavlja aberaciju samo u sklopovima sa dva ili više otvora, kad oni nisu fazno usklađeni. Pošto je vrednost ovog polinoma 1, on se takođe koristi pri izražavanju klasičnih pomoću Zernike aberacija, za uklanjanje razlike u položaju nulte ravni i poredbene sfere u odnosu na talasni front.

Funkcije na slici predstavljaju presek odstupanja kosinusnog polinoma po vodoravnoj središnjoj liniji mape odstupanja, što znači da je desna strana za θ=0, a leva za θ=π radijana. U slučaju primarnog astigmatizma i trolista 8. reda, funkcija za ove dve vrednosti θ opisuje samo pozitivnu polovinu odstupanja, dok je druga, negativna polovina opisana sa θ=π/2 i θ=3π/2 (isprekidana linija).

Aberacioni izrazi koji sadrže mθ sa m>2 nemaju strogo određene nazive, ali uobičajeno je da se nazivaju trolist (m=3), četvorolist (m=4), itd. (eng. trefoil, quadrafoil, pentafoil...).

Svojstva

Svojstva ortogonalnih Zernike polinoma koje ih razlikuju od bilo kojeg drugog skupa ortogonalnih polinoma kruga su: (1) da je njihov oblik nezavisan od rotacije koordinatnih osa, i (2) da sadrže polinom za svaki dopušten par n i m.

Kao što sam naziv govori, Zernike ortogonalni polinomi su ortogonalni u odnosu na površinu jediničnog kruga, tj. nultu ravan. Zernike polinomi su ortonormalni u saglasnosti sa:

${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\theta )\rho d\rho d\theta =\delta _{mm'}\delta _{nn'}$     (5)

za Zernike polinom, ortogonalni u saglasnosti sa:

$\int _{0}^{2\pi }cos\,m\theta \,cos\,m'\theta d\theta =\pi (1+\delta _{m0})\delta _{mm'}$       (5.1)

za funkciju ugaone učestanosti, i u saglasnosti sa:

$\int _{0}^{1}R_{n}^{m}(\rho )R_{n'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {1}{n+1}}\delta _{nn'}$       (5.2)

za radijalni polinom (n, m i n', m' su radijalni i ugaoni činilac za proizvoljan par Zernike polinoma). Dve funkcije su ortogonalne ako je njihov proizvod unutar određenog domena - u ovom slučaju nad površinom jediničnog kruga - jednak nuli.

Svojstvo ortogonalnih funkcija bitno u ovom slučaju je da je zbir pozitivnih i negativnih odstupanja od odnosne površine - u ovom slučaju nulte ravni - jednak nuli.

Ortogonalni Zernike polinomi predstavljaju oblik odstupanja talasnog fronta u tački najbolje žiže, ali se izraz polinoma razlikuje od odgovarajućeg izraza u uobičajenom obliku zbog potrebe da se polinomi učine jednoobraznim u pogledu veličine odstupanja od nulte ravni. U tu svrhu polinomi su izmenjeni tako da je najveće odstupanje za svaki polinom jednako jedinici, za ρ=1. Ovim se postiže da različiti polinomi, koji su samo-ortogonalni u smislu da im je zbir odstupanja od nulte ravni jednak nuli, postaju medđusobno ortogonalni. Svođenje najveće vrednosti polinoma na jedan zahteva da se ugaona promenljiva cos^mθ u klasičnom aberacionom izrazu zameni sa cosmθ, i da se izraz za radijalnu funkciju izmeni tako da zadovoljava ovaj zahtev.

SLIKA 4: DELOVI ABERACIONE FUNKCIJE U ZERNIKE POLINOMU I U KLASIČNOJ ABERACIONOJ FUNKCIJI

Na slici desno (gore) vidi se, na primeru primarnog astigmatizma - gde je klasična aberaciona funkcija za V-D grešku talasnog fronta za najbolju žižu W=Aρ²(cos²θ-0,5), gde je A pun aberacioni koeficijent za astigmatizam - da cos2θ ima istu učestalost kao cos²θ, ali dva puta veću visinu, koja na vrhu dostiže potrebnu jediničnu vrednost.

U slučaju radijalne funkcije za primarnu sfernu aberaciju (dole), klasičan aberacioni izraz dat sa W=S(ρ⁴-ρ²), gde je S pun aberacioni koeficijent za sfernu aberaciju, mora prvo biti ortogonalizovan dodatkom 1/6 (isprekidana linija), a potom pomnožen sa 6 da bi dao 1 za ρ=1. Većina klasičnih aberacionih funkcija za najbolju žižu ne zahteva ortogonalizaciju, jer su simetrične u odnosu na poredbenu sferu.

Ortonormalni polinom kruga

Ortonormalni Zernike polinom je ortogonalni polinoma prilagođen proračunu množenjem sa činiocem poravnanja (ili normalizacije). Dakle, ortonormalni Zernike polinom se sastoji od:

• ortogonalnog polinoma, i
• činioca poravnanja,

kojim se različitim polinomima, tj. aberacijama koje oni predstavljaju, efektivno daje zajednički imenitelj na nivou RMS greške, tako da mogu neposredno da se sabiraju i oduzimaju.

Ortonormalni Zernike polinomi zadržavavaju sve bitne osobine ortogonalnih polinoma, uključujući ortogonalnost, u njenom osnovnom značenju. Drugim rečima, polinomi bez činioca poravnanja su ortogonalni na nivou odstupanja talasnog fronta od nulte ravni, dok su polinomi sa činiocem - ortonormalni polinomi - ortogonalni na nivou RMS greške, tj. ortonormalni.

Činilac poravnanja

Za sve Zernike aberacije, izuzev za nagib, činilac poravnanja, ili normalizacije, je potkorena veličina (pri čemu korenovanje može da da ceo broj, ili ne). U opštem obliku, opisan je sa:

       $N_{n}^{m}={\sqrt {\frac {2(n+1)}{1+\delta _{m0}}}}$        (6)

gde je δ_m0 Kronekerova delta, jednaka nuli za m≠0 i jednaka 1 za m=0 (što znači da je činilac u vrednosti N samo u slučaju sferne aberacije i defokusa)

Svrha poravnanja, tj. normalizacije je da se različiti aberacioni oblici predstavljeni polinomima učine srazmernim u pogledu veličine RMS greške talasnog fronta. Potreba za poravnanjem proističe iz činjenice da se odnos između V-D i RMS greške menja od aberacije do aberacije, tako da su ortogonalni polinomi, koji su sa najvećom jediničnom vrednošću za ρ=1 poravnati na nivou V-D greške, nejednaki na nivou RMS greške.

Posledica toga je da bi bilo koja data vrednost koeficijenta proširenja predstavljala različitu RMS grešku za različite aberacije. Pošto se aberacije mogu dodavati i oduzimati samo na nivou RMS greške, poravnanje na nivou RMS greške je neophodno da bi se polinomi mogli koristiti za tu svrhu.

Na primer, količnik V-D prema RMS grešci je √32 za primarnu komu, a √24 za astigmatizam, što znači da bi za bilo koju datu vrednost koeficijenta proširenja primenjenu na jedinični, ortogonalni polinom, RMS greška bila veća u slučaju astigmatizma za √(32/24). To znači da koeficijent u tom slučaju ne bi mogao da bude opšti izraz apsolutne vrednosti RMS greške, i da mora da se primeni dopunski računski postupak da bi se različite aberacije mogle sabirati i oduzimati na nivou RMS greške. Najjednostavniji način je da se ortogonalnom polinomu doda činilac poravnanja.

Niz ortonormalnih polinoma

TABELA 1:

n  m          $N_{n}^{m}P_{n}^{m}(\rho ,\theta )$             ЗЕРНИКЕ АБЕРАЦИЈА 
0  0       1                       ПИСТОН 
1  1   2ρcosθ                      НАГИБ  
2  0   (√3)(2ρ2-1)                 ДЕФОКУС  
2  2   (√6)ρ2cos2θ                 ПРИМАРНИ АСТИГМАТИЗАМ  
3  1   (√8)(3ρ3-2ρ)cosθ            ПРИМАРНА КОМА  
3  3   (√8)ρ3cos3θ                 ТРОЛИСТ 6. РЕДА 
4  0   (√5)(6ρ4-6ρ2+1)             ПРИМАРНА СФЕРНА АБЕРАЦИЈА 
4  2   (√10)(4ρ4-3ρ2)cos2θ         СЕКУНДАРНИ АСТИГМАТИЗАМ  
4  4   (√10)ρ4cos4θ                ЧЕТВОРОЛИСТ 8. РЕДА 
5  1   (√12)(10ρ5-12ρ3+3ρ)cosθ     СЕКУНДАРНА КОМА  
5  3   (√12)(5ρ5-4ρ3)cos3θ         ТРОЛИСТ 8. РЕДА 
5  5   (√12)ρ5cos5θ                ПЕТОЛИСТ 10. РЕДА 
6  0   (√7)(20ρ6-30ρ4+12ρ2-1)      СЕКУНДАРНА СФЕРНА АБЕРАЦИЈА  
6  2   (√14)(15ρ6-20ρ4+6ρ2)cos2θ   ТЕРЦИЈАРНИ АСТИГМАТИЗАМ 
6  4   (√14)(6ρ6-5ρ4)cos4θ         ЧЕТВОРОЛИСТ 10. РЕДА 
6  6   (√14)ρ6cos6θ                ШЕСТОЛИСТ 12. РЕДА 
7  1   4(35ρ7-60ρ5+30ρ3-4ρ)cosθ    ТЕРЦИЈАРНА  КОМА  
7  3   4(21ρ7-30ρ5+10ρ3)cos3θ      ТРОЛИСТ 10. РЕДА 
7  5   4(7ρ7-6ρ5)cos5θ             ПЕТОЛИСТ 12. РЕДА 
7  7   4ρ7cos7θ                    СЕДМОЛИСТ 14. РЕДА 
8  0   3(70ρ8-140ρ6+90ρ4-20ρ2+1)   ТЕРЦИЈАРНА СФЕРНА АБЕРАЦИЈА  

Ovako izraženi, polinomi se nazivaju zajedničkim imenom ortonormalne Zernike aberacije (na primer, ortonormalna primarna sferna aberacija Zernikea).

Dati redosled ortonormalnih polinoma razlikuje se od ranije datog redosleda ortogonalnih polinoma, jer je za merilo redosleda u ovom prikazu uzeta veličina radijalnog izložioca n, a pri istom n veličina ugaone učestalost m. Pun spisak bi sadržao i sinusni oblik polinoma za sve polinome koji sadrže θ, koji je, kao i kod ortogonalnih poinoma, isti kao kosinusni oblik, izuzev što je kosinusna funkcija zamenjena sinusnom.

Zernike aberacioni izraz

Zernike aberacioni izraz (eng. Zernike aberration term) ili, kratko, Zernike izraz, je oblik polinoma koji se koristi u stvarnom proračunu, tj. za izgradnju talasnog fronta. Sastoji se od ortonormalnog polinoma pomnoženog koeficijentom proširenja z_nm. Vrednost koeficijenta proširenja određuje veličinu aberacije opisane polinomom. Oblik talasnog fronta opisanog zbirom odstupanja predstavljenih Zernike izrazima data je sa:

    $W_{(\rho ,\theta )}=\sum _{n=0}^{\inf }\sum _{m=0}^{n}z_{nm}Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )$          (7)

dok je RMS greška ovog talasnog fronta data kvadratnim korenom sume kvadrata svih koeficijenata proširenja, kao:

         $\omega ={\sqrt {\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(z_{nm})^{2}}}$         (8)

Gornji izrazi su za linearno odstupanje talasnog fronta, bilo kao odstupanje talasnog fronta W u bilo kojoj njegovoj tački, ili kao RMS greška ω. Izrazi za fazno odstupanje su istog oblika, jer je linearno odstupanje, kao razlika optičkog puta, bilo za proizvoljnu tačku talasnog fronta ili za RMS grešku, neposredno vezano za fazno odstupanje kroz F=(W/λ)2π, ili F=(ω/λ)2π radijana, gde je F fazno odstupanje, a λ talasna dužina svetlosti. Fazna greška je osnova za proračun međudejstva talasa, tj. stvaranje fizičke, ili difrakcione optičke slike.

Koeficijent proširenja

Koeficijent proširenja ortonormalnog Zernike polinoma kruga je veličina jednaka apsolutnoj vrednosti RMS greške date aberacije. Pošto je odnos između RMS i V-D greške za bilo koji oblik aberacije stalan, koeficijent proširenja praktično određuje i V-D grešku talasnog fronta za aberaciju predstavljenu polinomom. Opšti oblik koeficijenta proširenja dat je sa:

        $z_{nm}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }W_{(}\rho ,\theta )Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )\rho d\rho d\theta$       (9)

Zahvaljujući svojstvu ortogonalnosti, dodavanje ili oduzimanje različitih polinoma, tj. aberacija ne zahteva promenu vrednosti koeficijenata proširenja drugih polinoma u proračunu.

Niz Zernike aberacionih izraza

Kao i ortogonalni i ortonormalni polinomi, Zernike aberacioni izrazi se nižu prema merilu zasnovanom na veličini radijalnog izložioca n i ugaone učestalosti m. Sledeći niz je zasnovan na istom merilu kao gornji niz ortonormalnih polinoma, s tom razlikom što je oznaka izraza pojednostavljena zamenom $Z_{n}^{m}$ sa $Z_{j}$, gde je j redni broj polinoma u nizu. Ovaj niz uključuje i sinusne izraze.

TABELA 2:

 j  n  m    Zj(ρ,θ)                   ЗЕРНИКЕ АБЕРАЦИЈА
 1  0  0      1                   ПИСТОН
 2  1  1   2z2ρcosθ               НАГИБ (водораван) 
 3  1  1   2z3ρsinθ               НАГИБ (усправан)
 4  2  0   (√3)z4(2ρ2-1)            ДЕФОКУС 
 5  2  2   (√6)z5ρ2cos2θ          ПРИМАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (водораван) 
 6  2  2   (√6)z6ρ2sin2θ          ПРИМАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (искошен)
 7  3  1   (√8)z7(3ρ3-2ρ)cosθ       ПРИМАРНА КОМА  (водоравна) 
 8  3  1   (√8)z8(3ρ3-2ρ)sinθ       ПРИМАРНА КОМА (усправна)
 9  3  3   (√8)z9ρ3cos3θ          ТРОЛИСТ 6. РЕДА  (водораван) 
10  3  3   (√8)z10ρ3sin3θ         ТРОЛИСТ 6. РЕДА  (искошен)
11  4  0   (√5)z11(6ρ4-6ρ2+1)        ПРИМАРНА СФЕРНА АБЕРАЦИЈА
12  4  2   (√10)z12(4ρ4-3ρ2)cos2θ    СЕКУНДАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (вод.) 
13  4  2   (√10)z13(4ρ4-3ρ2)sin2θ    СЕКУНДАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (иск.)
14  4  4   (√10)z14ρ4cos4θ            ЧЕТВОРОЛИСТ 8. РЕДА (водораван)   
15  4  4   (√10)z15ρ4sin4θ            ЧЕТВОРОЛИСТ 8. РЕДА   (искошен)
16  5  1   (√12)z16(10ρ5-12ρ3+3ρ)cosθ    СЕКУНДАРНА КОМА  (водоравна)
17  5  1   (√12)z17(10ρ5-12ρ3+3ρ)sinθ    СЕКУНДАРНА КОМА  (усправна)
18  5  3   (√12)z18(5ρ5-4ρ3)cos3θ      ТРОЛИСТ 8. РЕДА   (водораван)
19  5  3   (√12)z19(5ρ5-4ρ3)sin3θ      ТРОЛИСТ 8. РЕДА   (искошен)
20  5  5   (√12)z20ρ5cos5θ               ПЕТОЛИСТ 10. РЕДА   (водораван) 
21  5  5   (√12)z21ρ5sin5θ               ПЕТОЛИСТ 10. РЕДА    (искошен)
22  6  0   (√7)z22(20ρ6-30ρ4+12ρ2-1)     СЕКУНДАРНА СФЕРНА АБЕРАЦИЈА 
23  6  2   (√14)z23(15ρ6-20ρ4+6ρ2)cos2θ   ТЕРЦИЈАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (вод.)
24  6  2   (√14)z24(15ρ6-20ρ4+6ρ2)sin2θ   ТЕРЦИЈАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (иск.)
25  6  4   (√14)z25(6ρ6-5ρ4)cos4θ        ЧЕТВОРОЛИСТ 10. РЕДА (водораван)
26  6  4   (√14)z26(6ρ6-5ρ4)sin4θ        ЧЕТВОРОЛИСТ 10. РЕДА (искошен)
27  6  6   (√14)z27ρ6cos6θ              ШЕСТОЛИСТ 12. РЕДА   (водораван)
28  6  6   (√14)z28ρ6sin6θ              ШЕСТОЛИСТ 12. РЕДА   (искошен)
29  7  1   4z29(35ρ7-60ρ5+30ρ3-4ρ)cosθ     ТЕРЦИЈАРНА  КОМА   (водоравна)
30  7  1   4z30(35ρ7-60ρ5+30ρ3-4ρ)sinθ     ТЕРЦИЈАРНА  КОМА   (усправна)
31  7  3   4z31(21ρ7-30ρ5+10ρ3)cos3θ     ТРОЛИСТ 10. РЕДА  (водораван)
32  7  3   4z32(21ρ7-30ρ5+10ρ3)sin3θ     ТРОЛИСТ 10. РЕДА   (искошен)
33  7  5   4z33(7ρ7-6ρ5)cos5θ        ПЕТОЛИСТ 12. РЕДА   (водораван)
34  7  5   4z34(7ρ7-6ρ5)sin5θ        ПЕТОЛИСТ 12. РЕДА   (искошен)
35  7  7   4z35ρ7cos7θ              СЕДМОЛИСТ 14. РЕДА   (водораван)
36  7  7   4z36ρ7sin7θ              СЕДМОЛИСТ 14. РЕДА   (искошен)
37  8  0   3z37(70ρ8-140ρ6+90ρ4-20ρ2+1)     ТЕРЦИЈАРНА СФЕРНА АБЕРАЦИЈА 

Ovako izraženi Zernike polinomi nazivaju se Zernike aberacioni izrazi (na primer, Zernike aberacioni izraz primarne sferne aberacije). Ovakav niz Zernike izraza predstavlja Zernike aberacionu funkciju, gde je aberacija opisana zbirom vrednosti svih izraza.

Šeme nizanja Zernike polinoma

Polazeći od opšteg oblika polinoma, u zavisnosti od izabranog merila kojim se određuje redosled polinoma od najjednostavnijih prema složenijim oblicima, moguće su različite šeme nizanja, tj. različiti Zernike nizovi, ili nizovi Zernike aberacija. Jedan od najpoznatijih u sferi optike je Nolov Zernike niz (eng. Noll Zernike term expansion, ili Noll's indexing scheme). Drugi primer je Vajantov Zernike niz (eng. Wyant Zernike term expansion, ili Wyant's indexing scheme). U sferi oftalmologije, široko se koristi ANSI (American National Standards Institute) šema, popularno poznata kao Zernike piramida (eng. Zernike pyramid). Uz drugačiji redosled aberacija, različite šeme, u načelu, koriste i drugačiji način obeležavanja aberacionih izraza.

Nolov Zernike niz

SLIKA 5: NOLOV ZERNIKE NIZ

Nolov (Robert J. Noll) Zernike niz je među najčešće korišćenim. Slika desno prikazuje prvih 21 izraza u ovom nizu, u kom je redni broj j idući od najmanjih prema većim vrednostima n, a kod izraza sa istom vrednošću n od nižeg m ka višem. Kosinusni i sinusni oblici istog izraza su poređani tako da kosinusni oblik ima paran, a sinusni oblik neparan redni broj. Nolov niz ima uspravnu simetriju u smislu da se viši redovi istog oblika aberacije ređaju ispod najnižeg reda.

Vajantov Zernike niz

SLIKA 6: VAJANTOV ZERNIKE NIZ

Kao primer drugačijeg niza, Vajantov (James C. Wyant) Zernike niz ima istu uspravnu simetriju kao Nolov niz, ali zbog drugačije postavljenog radijalnog reda izrazi se nižu u nešto promenjenom redosledu. Radijalni red u ovom slučaju ide od najniže vrednosti (n+m)/2 prema višim, što znači da vrednost oba činioca ima podjednaku težinu u pogledu toga kojim redom se izrazi nižu. Prikazano je prvih 15 izraza niza.

ANSI piramida

ANSI (eng. American National Standards Institute) piramida (eng. ANSI standard Zernike scheme) je izgrađena tako da njenu sredinu čine radijalno simetrične aberacije - piston, defokus i sferna - počevši od najjednostavnijeg oblika na vrhu prema složenijim nadole, dok se sa leve strane šire sinusni, a sa desne kosinusni oblici Zernike izraza, takođe od najprostijih pri vrhu prema složenijima nadole.

SLIKA 7: ANSI ZERNIKE PIRAMIDA

Na osnovu toga, sinusni oblici aberacionih Zernike izraza u ovom nizu se obeležavaju sa negativnim m u oznaci polinoma, kao $Z_{n}^{-m}$. Takođe, upotreba prideva kojim se označava orijentacija aberacije je nešto drugačija u ovom nizu. Za razliku od prethodna dva niza, u kojima se kosinusni oblik aberacije naziva "vodoravan", ili "položen" (eng. horizontal, ili jednostavno označen prefiksom x-... označavajući orijentaciju u smeru x-ose), ovde se svaka aberacija sa orijentacijom u kojoj su najviša i/ili najniža tačka ugaone funkcije - tj. sredine dva suprotna "lista" - na uspravnoj liniji, naziva uspravna (eng. vertical).

Zernike aberacije i klasične aberacije

Pošto Zernike polinomi opisuju iste oblike odstupanja talasnog fronta kao klasični aberacioni izrazi, Zernike aberacije se mogu izraziti pomoću aberacionih funkcija i koeficijenata klasičnih aberacija, i obrnuto. Ovo ima značaj pre svega na nivou osnovnih aberacija, jer su najvažnije, i jer pretvaranje jednih u druge kod viših redova postaje vrlo složeno.

U svom osnovnom obliku, klasične aberacije su predstavljene aberacijom u žiži doosnih zraka, tzv. Gausovoj žiži (za vanosne aberacije, kao koma i astigmatizam, Gausova žiža je žiža zraka bliskih glavnom zraku). Međutim, odstupanje talasnog fronta je po pravilu najmanje ne u odnosu na Gausovu sferu (tj. sferu sa centrom zakrivljenosti u Gausovoj žiži), nego u odnosu na sferu čije je središte zakrivljenosti u tačci različitoj od Gausovog fokusa. U slučaju primarne sferne aberacije ili astigmatizma, na primer, tačka najmanje aberacije je ispred ili iza Gausove žiže (u zavisnosti od znaka aberacije), što znači da zahteva dodavanje defokusa. U slučaju kome, tačka najbolje žiže je ispod ili iznad Gausove žiže, što znači da se najmanja aberacija postiže dodavanjem određenog nagiba Gausovoj poredbenoj sferi.

U slučaju sekundarne sferne aberacije, najmanja aberacija se postiže dodavanjem defokusa i primarne sferne aberacije, itd.

Još jedan činilac razlike koji mora da se uzme u obzir kod nekih aberacija je da se položaj poredbene sfere u odnosu na talasni front menja, tj. da ona kod Zernike aberacija uvek preseca talasni front na dva dela, tako da je zbir odstupanja na jednoj i drugoj strani (koja su različitog znaka) jednak nuli. Ova promena položaja odnosne sfere se u slučaju Zernike aberacija postiže korišćenjem pistona, koji kao Zernike aberacija ima stalnu jediničnu vrednost.

Na primer, u primarnoj sfernoj aberaciji Zernikea, datoj sa (√5)z₄₀ (6ρ⁴-6ρ²+1), poslednji član u u radijalnoj funkciji, 1, je vrednost pistona potrebna da se odnosna sfera dovede u poklapanje sa nultom ravni.

SLIKA 8: ORTOGONALIZACIJA ZERNIKE POLINOMA

Slika desno pokazuje ortogonalizaciju polinoma u slučaju sferne aberacije (primarne) i defokusa. U oba slučaja osnovni aberacioni izraz za odstupanje talasnog fronta u tački najbolje žiže je pomnožen - sa 6 u prvom, i sa 2 u drugom slučaju - da bi vrednost polinoma za ρ=1 bila jednaka jedinici. Nivo RMS greške je za ove dve aberacije je poravnat množenjem sa činiocem poravnanja, koji je jednak √5 u prvom i √3 u drugom slučaju.

Pošto Zernike polinomi, tj. Zernike aberacije, izražavaju najmanju aberaciju, tj. aberaciju u tačci najmanjeg odstupanja, oni se sastoje iz više aberacija: od osnovne, ili polazne aberacije u Gausovoj žiži, i aberacija potrebnih da se poredbena sfera promeni od Gausove u sferu najmanje aberacije.

Sve Zernike aberacije - izuzev pistona, nagiba i defokusa - sastoje se od više različitih aberacija, od koje je jedna, i osnovna, aberacija u tački Gausove žiže. U višim redovima Zernike aberacija, odgovarajuće klasične Zajdelove aberacije kao osnovnu aberaciju zamenjuju sekundarne, ili Švarcšildove aberacije, u još višim tercijarne, itd.

Počevši sa opštim oblikom za aberacionog izraza za aberacije Gausove žiže i za Zernike aberacije, koji je dat sa ρⁿcosmθ u prvom, i sa $R_{n}^{m}$_(ρ)mcosθ u drugom slučaju, sličnost opšteg oblika se prenosi i na opšti oblik aberacione funkcije koje su, u istom redosledu, date sa:

       $W_{(\rho ,\theta )}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}c_{nm}\rho ^{n}cos^{m}\theta$        (10)

gde je W_(ρ.θ) odstupanje talasnog fronta, ρ je visina tačke u optičkom otvoru sa jediničnim poluprečnikom (tj. ρ=v/d, gde je v visina tačke na poluprečniku d otvora), θ je ugao poluprečnika na kom leži tačka, a aberacioni koeficijent

    $c_{nm}=d^{n}\sum _{l=0}^{\infty }{_{2l+m}}c_{nm}h^{2l+m}$     (10.1)

i

    $W_{(\rho ,\theta )}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}z_{nm}Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )$     (11)

gde je $Z_{n}^{m}$ ortonormalni Zernike polinom, a z_nm aberacioni koeficient, tj. koeficijent proširenja, čija je apsolutna vrednost jednaka RMS grešci talasnog fronta.

Dok je deo funkcije koji predstavlja ugaonu promenljivu sličan - cos2θ ima istu učestalost, samo dva puta veću visinu od cos²θ - bitne razlike su u svojstvu dela funkcije opisanog radijalnom promenljivom ρ, i u svojstvu aberacionog koeficijenta.

U klasičnoj aberacionoj funkciji ρⁿ je srazmerno odtupanju talasnog fronta za tačku Gausovog fokusa, dok je radijalni polinom $R_{n}^{m}$ u slučaju Zernike aberacije srazmeran odtupanju talasnog fronta za tačku najmanje RMS greške, tj. tačku najboljeg fokusa.

Sam aberacioni koeficijent u slučaju klasične aberacije predstavlja ili V-D grešku talasnog fronta, ili polovinu V-D greške, u kom su činioci poluprečnik otvora kao dⁿ, i visina tačke u ravni slike kao h^2l+m, dok u slučaju Zernike aberacije koeficijent predstavlja RMS grešku talasnog fronta.

Donja tabela daje pregled aberacione funkcije bez aberacionog koeficijenta (koji u oba slučaja samo određuje veličinu date aberacije) za osnovne (Zajdelove) klasične aberacije, tj. aberacije u tački Gusove žiže, za aberacije najbolje žiže. i za odgovarajući ortogonalni Zernike polinom.

TABELA 3:

ABERACIJA	l	n	m	GAUSOVA ŽIŽA	NAJBOLjA ŽIŽA	$Z_{n}^{m}$(ρ,θ)
NAGIB	1	1	1	ρcosθ	ρcosθ	ρcosθ
DEFOKUS	1	2	0	ρ2	ρ2	2ρ2-1
ASTIGMATIZAM prim.	0	2	2	ρ2cos2θ	ρ2(cos2θ-0,5)	ρ2cos2θ
KOMA prim.	0	3	1	ρ3cosθ	(ρ3-2ρ/3)cosθ	(3ρ3-2ρ)cosθ
SFERNA prim.	0	4	0	ρ4	ρ4-ρ2	6ρ4-6ρ2+1
TROLIST	0	3	3	ρ3cos3θ	ρ3cos3θ	ρ3cos3θ
ASTIGMATIZAM sek.	0	4	2	ρ4cos2θ	(ρ4-0,75ρ2)cos2θ	(4ρ4-3ρ2)cos2θ
KOMA sek.	0	5	1	ρ5cosθ	(ρ5-1,2ρ3+0,3ρ)cosθ	(10ρ5-12ρ3+3ρ)cosθ
SFERNA sek.	0	6	0	ρ6	ρ6-1,5ρ4+0,6ρ2	20ρ6-30ρ4+12ρ2-1

Brojni činioci n and m su isti za klasične aberacije i Zernike polinom ako je l=0 za prve; u slučaju kad je l=0, m u klasičnoj aberaciji je veće od m u odnosnom Zernike polinomu.

Zernike aberacije i aberacije najbolje žiže

Zernike aberacije je najjednostavnije povezati sa aberacijama najbolje žiže, koje su u svom uobičajenom obliku izražene funkcijom sličnom Zernike polinomu, ali koristeći aberacioni koeficijent za aberaciju u Gausovoj žiži. Oblik odstupanja talasnog fronta je isti. Jedina razlika je u tome što je Zernike izraz izmenjen radi jednoobraznosti, jer svi izrazi moraju da imaju svojstvo ortogonalnosti, i vrednost od 1 za ρ=1.

SLIKA 9: RADIJALNA FUNKCIJA ZERNIKE ABERACIJE I ABERACIJE NAJBOLjE ŽIŽE

Slika desno pokazuje radijalne funkcije aberacionog izraza za primarnu Zernike sfernu aberaciju i primarnu komu, u poređenju sa radijalnu funkciju uobičajenih aberacionih izraza za najbolju žižu. U slučaju sferne aberacije izraz za najbolju žižu je morao da bude prvo ortogonalizovan dodavanjem 1/6, i potom pomnožen sa 6 da bi dao vrednost jednaku jedan za ρ=1. U slučaju kome, izraz za najbolju žižu već ima svojstvo ortogonalnosti, tako da je jedina izmena za dovođenje u potreban oblik za Zernike izraz množenje sa 3, da bi izraz imao vrednost jednaku jedan za ρ=1 (odstupanje u slučaju kome je za cosmθ=1, tj. za θ=0 za desnu stranu, i za θ=180° i cosmθ=-1 za levu stranu).

Ako se koeficijent proširenja u Zernike izrazu - čija apsolutna vrednost je jednaka RMS greški talasnog fronta - zameni sa punim aberacionim koeficijentom (PAK) aberacije u Gausovoj žiži dobija se Zernike izraz koji koristi pokazatelj veličine aberacije u Gausovoj žiži (za najniži red sferne aberacije, kome i astigmatizma, pokazatelj veličine tzv. klasične, ili Zajdelove aberacije). Pošto je za svaku aberaciju odnos između PAK i RMS stalan, odgovarajuće vrednosti Zernike koeficijenta proširenja i PAK se menjaju u istoj srazmeri.

Ukoliko se oblik Zernike izraza koji koristi PAK podeli sa činiocem jediničnosti, kojim je Zernike polinom pomnožen da bi dao jedan za ρ=1, dobija se ili aberacioni izraz jednak izrazu za uobičajen izraz aberacije najbolje žiže, ili izraz koji se od njega razlikuje samo u prisustvu nepromenljivog broja koji ne utiče na veličinu aberacije, samo na položaj poredbene sfere.

Na primer, primarna sferna aberacija Zernikea, data sa:

    ZS = (√5)(6ρ4-6ρ2+1)zS      (12)

je srazmerna primarnoj klasičnoj sfernoj aberaciji najbolje žiže, u kojoj su V-D i RMS greška talasnog fronta četiri puta manji nego za klasičnu primarnu sfernu aberaciju u tački Gausove žiže. Pošto PAK u poslednjem slučaju - obeležen sa S - predstavlja V-D grešku talasnog fronta, koja je za 1.5√5 veća od RMS greške, gornja Zernike aberacija se, zamenjujući z_S sa Ѕ/6√5 može napisati kao:

    ZS = (√5)(6ρ4-6ρ2+1)zS 
       = (6ρ4-6ρ2+1)S/6 
       = (ρ4-ρ2+1/6)S        (12.1)

s tim što se Ѕ daje isti znak kao z_S. Jedina razlika u odnosu na uobičajeni izraz za aberaciju najbolje žiže je 1/6, brojna nepromenljiva koja pomera poredbenu sferu u položaj da preseca talasni front tako da je zbir odstupanja sa jedne i druge strane isti.

Na sličan način, primarna Zernike koma

     ZC = (√8)(3ρ3-2ρ)cosθzC       (13)

s obzirom na to da PAK za klasičnu primarnu komu - označen sa S - predstavlja polovinu V-D greške talasnog fronta u Gausovoj žiži, gde je greška tri puta veća nego u tački najbolje žiže, a V-D greška je 3√8 puta veća od RMS greške (ovaj odnos je 1,5 puta veći od stvarnog odnosa da bi nadoknadio veću V-D grešku), može da se napiše kao:

     ZC = (√8)(3ρ3-2ρ)cosθzC 
        = (3ρ3-2ρ)cosθC/3  
        = (ρ3-2ρ/3)cosθC      (13.1)

Primarni Zernike astigmatizam, sa PAK klasične aberacije - obeležen sa A - većim od RMS greške 2√6 puta, može da se napiše:

    ZA = (√6)ρ2cos2θzA 
       = cos2θρ2A/2 
       = (cos2θ-0,5)ρ2A        (14)

gde je poslednji izraz aberacija najbolje žiže u uobičajenom obliku.

U slučaju defokusa V-D greška je veća od RMS greške, tj. od apsolutne vrednosti Zernike koeficijenta proširenja, 2√3 puta, tako da se Zernike defokus zamenom PAK za defokus, D, koji predstavlja V-D grešku talasnog fronta, menja u:

         (√3)(2р2-1)zD = (ρ2-0,5)D      (15)

koji se, slično kao sa sfernom aberacijom, razlikuje od uobičajenog izraza za defokus samo u brojnom članu 0,5 koji pomera odnosnu sferu u položaj nulte površine, tj. ortogonalizuje izraz za defokus.

U slučaju nagiba, V-D greška je 4 puta veća od RMS greške, i pošto PAK pvde predstavlja polovinu V-D greške, Zernike nagib se zamenom Zernike koeficijenta sa PAK za nagib N menja u:

           2ρcosθzN = ρcosθН        (16)

Ovi izrazi povezuju Zernike aberacije sa PAK pet klasičnih, ili Zajdelovih aberacija. Tačnije, izražavaju Zernike aberacije koristeći PAK klasičnih aberacija, ali ne povezuju ih sa klasičnim aberacijama u celosti, u kojima je PAK samo deo aberacionog izraza.

Kroz znatno složenije proračune, i aberacije u Gausovoj žiži, uključujući pet klasičnih aberacija, mogu da se izraze pomoću Zernike aberacija. Oblik izraza zavisi od toga da li se odnose samo na kosinusne Zernike aberacije (podobno za sklopove sa obrtnom osnom simetrijom), ili na kosinusne i sinusne Zernike aberacije (za sklopove bez obrtne osne simetrije).

Zernike aberacije i aberacije Gausove žiže sa obrtnom osnom simetrijom

Za opisivanje odstupanja talasnog fronta u sklopovima sa obrtnom osnom simetrijom potrebini su samo kosinusni, ili tzv. simetricni Zernike izrazi. Pošto uobičajena aberaciona funkcija činioce izložilaca m, n i l, gde su m i n jednaki činiocima m i n Zernike izraza kad je l=0, ali su različiti kad je l≠0, radi jasnoće, opšti oblik uobičajene funkcije odstupanja talasnog fronta od poredbene sfere se može izraziti sa oznakama m i n zamenjenim sa t i u kao:

       $W_{(\rho ,\theta )}=\sum _{t=0}^{\infty }\sum _{u=0}^{t}K_{tu}\rho ^{t}cos^{u}\theta$       (17)

u kom slučaju su pun aberacioni koeficijent K_nm uobičajene aberacione funkcije i odgovarajući koeficijent proširenja Zernike izraza vezani izrazom:

           $K_{tu}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}b_{tunm}z_{nm}$       (18)

koji određuje K u slučaju kad je Zernike koeficijent poznat. Činilac b_tunm zahteva složen izraz, zbog čega se njegove izračunate vrednosti daju u vidu tabele (ispod).

Na sličan način, kada su poznati puni aberacioni koeficijenti uobičajene funkcije, vrednosti odgovarajućih Zernike koeficijenata se određene izrazom:

          $z_{nm}=\sum _{t=0}^{\infty }\sum _{u=0}^{\infty }g_{nmtu}K_{tu}$     (19)

Činilac g_nmtu se, iz istog razloga kao činilac b_tunm, često daje u vidu tabele (ispod).

Koristeći činioce b_tunm i g_nmtu za preobraćanje Zernike koeficijenata u klasične, i obrnuto, Zernike aberacioni izraz može da se poveže sa klasičnim. Zajdelove aberacije, na primer, odgovaraju sledećim Zernike aberacijama:

  $K_{11}\rho cos\theta ={\frac {K_{11}}{2}}Z_{1}^{1}$        (20) 

za nagib,

  $K_{20}\rho ^{2}=K_{20}\left({\frac {Z_{2}^{0}}{2{\sqrt {3}}}}+{\frac {Z_{0}^{0}}{2}}\right)$        (21)   

za defokus,

  $K_{22}\rho ^{2}cos^{2}\theta =K_{22}\left({\frac {Z_{2}^{2}}{2{\sqrt {6}}}}+{\frac {Z_{2}^{0}}{4{\sqrt {3}}}}+{\frac {Z_{0}^{0}}{4}}\right)$        (22)   

za primarni astigmatizam,

  $K_{31}\rho ^{3}cos\theta =K_{31}\left({\frac {Z_{3}^{1}}{6{\sqrt {2}}}}+{\frac {Z_{1}^{1}}{3}}\right)$        (23)   

za primarnu komu, i

  $K_{40}\rho ^{4}=K_{40}\left({\frac {Z_{4}^{0}}{6{\sqrt {5}}}}+{\frac {Z_{2}^{0}}{2{\sqrt {3}}}}+{\frac {Z_{0}^{0}}{3}}\right)$        (24)   

za primarnu sfernu aberaciju.

Pošto su poslednje tri aberacije u obliku Zernike aberacija sastavljene od dve ili više aberacija, pri izražavanju klasične aberacije pojedinačne aberacije koje čine Zernike aberaciju se oduzimaju ako su dodate, i dodaju ako su oduzete pri obrazovanju izraza za Zernike aberaciju.

Na primer, primarna sferna aberacija Zernikea Z₄₀=6ρ⁴-6ρ²+1 se sastoji od primarne sferne aberacije u Gausovoj žiži, defokusa suprotnog znaka kojim se žiža premešta u tačku najbolje žiže, i pistona kojim se poredbena sfera dovodi u poklapanje sa nultom ravni. Deljenjem ovog izraza sa 6√5 on se svodi na ρ⁴-ρ²+1/6, tj. uobičajen aberacioni izraz za primarnu sfernu aberaciju u najboljoj žiži, u kom je poredbena sfera (predstavljena kao odnosna ravan) dodavanjem 1/6 pomerena u položaj da preseca krivu odstupanja talasnog fronta na dva dela sa jednakim ukupnim zbirom odstupanja. Dodavanjem Zernike defokusa podeljenog sa 2√3, tj. ρ²-0,5 i pistona podeljenog sa 3, tj. 1/3, dobija se ρ⁴, tj. radijalna promenljiva aberacionog izraza za klasičnu, ili Zajdelovu primarnu sfernu aberaciju u tački Gausove žiže.

Pošto se Zernike aberacioni niz, koji predstavlja Zernike aberacionu funkciju, sastoji iz većeg broja Zernike aberacija koje sadrže ρⁿ, tj. radijalnu funkciju klasičnih aberacija, pun aberacioni koeficijent klasične aberacije K_tu je dat zbirom koeficijenata za sve Zernike aberacije sa istim izložiocem n u ρⁿ:

K00=z00-(√3)z20+(√5)z40-(√7)z60+3z80+...     (25)   

za piston

K11=2z11-4(√2)z31+6(√3)z51-16z71+...     (26)

za nagib,

K20=2(√3)z20-(√6)z22-6(√5)z40+3(√10)z42+6(√7)z60-6(√14)z62-60z80+...  (27)   

za defokus,

K22=2(√6)z22-6(√10)z42+12(√14)z62+...    (28)    

za astigmatizam,

K31=6(√2)z31-6(√2)z33-24(√3)z51+24(√3)z53+120z71-120z73+...     (29)   

za komu, i

K40=6(√5)z40-4(√10)z42+(√10)z44-30(√7)z60+...   (30)   

za sfernu aberaciju

Zernike aberacije i aberacije Gausove žiže bez obrtne osne simetrije

Za opis odstupanja talasnog fronta u sklopovima bez obrtne osne simetrije, pored kosinusnih Zernike izraza neophodni su i sinusni izrazi. U načelu, veza sa Zajdelovim i klasičnim aberacijama uopšte je ista kao i u slučaju sklopova sa osnom simetrijom, samo izrazi postaju složeniji. Zernike aberaciona funkcija koristi potpun niz Zernike izraza, kao niz prikazan u Tabeli 2 za prvih 37 aberacija.

Kosinusni i sinusni, ili antisimetrični Zernike izraz za istu aberaciju mogu se napisati kao jedan, izmenjen kosinusni izraz, u kom su aberacioni koeficijenti sinusnog i kosinusnog izraza dati kao kvadratni koren zbira njihovih kvadrata:

     $Z_{j}={\sqrt {z_{j}^{2}+z_{j+1}^{2}}}~R_{j}cos\left(\theta +{\frac {\pi }{2m}}\right)$      (31)

gde je R_j radijalni Zernike polinom, a j je redni broj Zernike aberacije, kao u Tabli 2. Zernike aberacije u kojima postoje koeficijenti za sinusni i kosinusni izraz zadržavaju isti oblik odstupanja, ali sa promenjenom orijentacijom, koja je određena odnosom koeficijenata sinusnog i kosinusnog izraza. Opšti oblik se može napisati kao:

     $z_{cos}R_{j}cos\,m\theta +z_{sin}R_{j}sin\,m\theta ={\sqrt {z_{cos}^{2}+z_{sin}^{2}}}~R_{j}cos\left(\theta -tan^{-1}\,{\frac {z_{sin}}{z_{cos}}}\right)$      (32)

Koristeći redni broj j iz tabele 2, tri primarne Zernike aberacije koje sadrže ugaonu funkciju otvora, mogu se izraziti kao odstupanje talasnog fronta koje proizilazi iz zbira kosinusne i sinusne aberacije kao:

       $W_{(\rho ,\theta )}=z_{2}Z_{2}{(\rho ,\theta )}+z_{3}Z_{3}(\rho ,\theta )$
     
              $=2\rho (z_{2}cos\theta +z_{3}sin\theta )$
              $=2{\sqrt {z_{2}^{2}+z_{3}^{2}}}~\rho cos\left(\theta -tan^{-1}{\frac {z_{3}}{z_{2}}}\right)$      (33)     

za nagib,

       $W_{(\rho ,\theta )}=z_{7}Z_{7}(\rho ,\theta )+z_{8}Z_{8}{(\rho ,\theta )}$
              $={\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )(z_{7}cos\theta +z_{8}sin\theta )$
              $={\sqrt {8(z_{7}^{2}+z_{8}^{2})}}(3\rho ^{3}-2\rho )cos\left(\theta -tan^{-1}~{\frac {z_{8}}{z_{7}}}\right)$       (34)    

za komu, i

      $W_{(\rho ,\theta )}=z_{5}Z_{5}{(\rho ,\theta )}+z_{6}Z_{6}{(\rho ,\theta )}$
             $={\sqrt {6}}\rho ^{2}(z_{5}cos2\theta +z_{6}sin2\theta )$
             $={\sqrt {6(z_{5}^{2}+z_{6}^{2})}}\rho ^{2}cos\left[2\left(\theta -{\frac {1}{2}}tan^{-1}~{\frac {z_{6}}{z_{5}}}\right)\right]$     (35)   

za astigmatizam, gde ugao dat sa arctan funkcijom predstavlja ugao iskošenja ose simetrije datog oblika odstupanja od vodoravne (x) ose.

Pošto je većina Zernike aberacije sastavljena od više klasičnih aberacija, neminovno su i klasične aberacije, kad se izraze kroz Zernike aberacije, sastavljene iz više Zernike aberacija. Niže klasične aberacije su često sadržane u višim Zernike aberacijama da bi se izrazili ti složeniji oblici odstupanja, mada takva niža klasična aberacija nije stvarno prisutna.

Na primer, klasična sekundarna sferna aberacija, izražena sa K₄₀ρ⁶, zahteva četiri Zernike aberacije, jer za njeno izražavanje mora da se koristi sekundarna sferna aberacija Zernikea, Z₂₂, koja pored ρ⁶ sadrži i ρ⁴ (primarna sferna), ρ² (defokus) i brojnu nepromenljivu (piston).

Sa druge strane, u slučaju kad više Zernike aberacije nisu zanemarljivo male, nivo nižih Zernike aberacija može biti manji od stvarnog. Na primer, nagib talasnog fronta je prisutan kao deo sekundarne i tercijarne kome, defokus je prisutan kao deo sekundarne i tercijarne sferne aberacije, kao i sekndarnog i tercijarnog astigmatizma, itd.

U slučaju kad su više aberacije zanemarljivo male, aberacija optičkog sklopa bez obrtne osne simetrije za najnižih devet Zernike aberacija, sa(n+m)≤4, može se izraziti kroz pet Zajdelovih aberacija, kao:

$W_{(\rho ,\theta )}=\sum _{j=1}^{j=8}z_{j}Z_{j}(\rho ,\theta )+z_{11}Z_{11}(\rho )$
$=P+K_{H}cos(\theta -\beta _{H})+K_{D}\rho ^{2}+K_{A}\rho ^{2}cos^{2}(\theta -\beta _{A})+K_{C}\rho ^{3}cos(\theta -\beta _{C})+K_{S}\rho ^{4}$      (36)

gde je P piston aberacija u iznosu potrebnom da se poništi zbir piston činilaca u Zernike aberacijama, K_i su puni aberacioni koeficijenti pet Zajdelovih aberacija - nagiba (N), defokusa (D), astigmatizma (A), kome (C) i sferne aberacije (S) - a β_i je ugao iskošenja Zajdelove aberacije u odnosu na x-osu (Zernike izrazi za trolist, Z₉ i Z₁₀, su izostavljeni jer sa n+m>4 spadaju u više aberacije).

Puni aberacioni koeficijenti su dati sa:

$P=z_{1}-{\sqrt {3}}z_{4}+{\sqrt {5}}z_{11}$
$K_{H}=2{\sqrt {(z_{2}-{\sqrt {8}}z_{7})^{2}+(z_{3}-{\sqrt {8}}z_{8})^{2}}},\qquad \beta _{H}=tan^{-1}~{\frac {z_{3}-{\sqrt {3}}z_{8}}{z_{2}-{\sqrt {3}}z_{7}}}$
$K_{D}=2({\sqrt {3}}z_{4}-3{\sqrt {5}}z_{11}-K_{A})$
  
$K_{A}=2{\sqrt {6(z_{5}^{2}+z_{6}^{2})}},\qquad \beta _{A}={\frac {1}{2}}tan^{-1}~{\frac {z_{6}}{z_{5}}}$
$K_{C}=6{\sqrt {2(z_{7}^{2}+z_{8}^{2})}},\qquad \beta _{C}=tan^{-1}~{\frac {z_{8}}{z_{7}}}$
$K_{S}=6{\sqrt {5}}z_{11}$                                                     (37)

Zernike aberacioni polinomi za druge oblike optičkog otvora

Zernike polinomi su, kao polinomi jediničnog kruga, izvorno ograničeni na analizu talasnog fronta u sklopovima sa kružnim optičkim otvorom. Sa srazmerno malim izmenama, mogu se primeniti i na prstenast optički otvor - tj. sklopove sa kružnim otvorom i kružnim središnjin zaklonom - u kom slučaju se govori o Zernike polinomoma za prstenast otvor (eng. annular Zernike polynomials).

Slično se odnosi i na upotrebu Zernike polinoma u slučaju Gausovskog kružnog otvora, tj. otvora u kom prenos visine talasa nije ujednačen, nego opada od središta prema ivicama saglasno Gausovoj krivi. Ovakva vrsta prenosa je uobičajena u laserskim sklopovima.

Zernike polinomi takođe mogu biti prilagođeni drugim oblicima otvora, na primer kvadratnom, ali njihova primena postaje, u načelu, manje praktična. Uz to, rezultati mogu biti manje tačni.

Zernike polinomi za prstenast optički otvor

SLIKA 10: JEDINIČNI ZERNIKE PRSTEN

Jedina razlika aberacionih polinoma Zernikea za prstenast optički otvor, u odnosu na polinome za kružni otvor, je u tome da su ortogonalni nad prstenastom površinom otvora sa središnjim kružnim zaklonom (slika desno). Pošto promena oblika površine otvora menja svojstva talasnog fronta koji kroz njega prolazi, aberacioni izraz odstupanja za najbolju žižu - što u posebnom obliku daje i Zernike aberacioni izraz - se takođe menja.

Osnovni izrazi

Deo Zernike aberacionog izraza koji se menja u ovom slučaju je radijalni polinom, te je jedini deo u kom se osnovni izrazi koji opisuju Zernike polinome prstena (eng. Zernike annular polynomials) razlikuju od onih koji opisuju polinome kruga. Odstupanje talasnog fronta od nulte ravni je dato zbirom Zernike izraza prstena $z_{nm}Z_{n}^{m}(\rho ,\theta ;\epsilon )$:

$W_{(\rho ,\theta ;\epsilon )}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}z_{nm}Z_{n}^{m}(\rho ,\theta ;\epsilon )$        (38)

gde je Zernike koeficijent proširenja dat sa:

$z_{nm}={\frac {1}{\pi (1-\epsilon ^{2})}}\int _{\epsilon }^{1}\int _{0}^{2\pi }W(\rho ,\theta ,\epsilon )Z_{n}^{m}(\rho ,\theta ,\epsilon )\rho d\rho d\theta$        (38.1)

a Zernike ortonormalni polinom prstena dat sa:

$Z_{n}^{m}(\rho ,\theta ;\epsilon )=N_{n}^{m}R_{n}^{m}(\rho ;\epsilon )cos\,m\theta$       (38.2)

u kom je činilac poravnanja, kao i za polinom kruga:

$N_{m}^{n}={\sqrt {\frac {2(n+1)}{1+\delta _{m0}}}}$        (38.2.1)

$R_{n}^{m}(\rho ;\epsilon )$ je radijalni polinom prstena, koji opisuje odstupanje talasnog fronta za $\epsilon$≤ρ≤1, i $cos\,m\theta$ je ugaona funkcija, ista kao za polinom kruga.

Opšti oblik polinoma prstena, dobijenog Gram-Šmitovom (Gram–Schmidt) ortogonalizacijom, je:

 $R_{n}^{m}(\rho ;\epsilon )=N_{n}^{m}\left[R_{n}^{m}(\rho )\sum _{i\geq 1}^{\frac {n-2}{2}}(n-2i+1)\langle R_{n}^{m}(\rho )R_{n-2i}^{m}(\rho ;\epsilon )\rangle R_{n-2i}^{m}(\rho ;\epsilon )\right]$       (38.3)

u kom je:

$\langle R_{n}^{m}(\rho )R_{n'}^{m}(\rho ;\epsilon )\rangle ={\frac {2}{1-\epsilon ^{2}}}\int _{\epsilon }^{1}R_{n}^{m}(\rho )R_{n'}^{m}(\rho ;\epsilon )\rho d\rho$       (38.3.1)

Polinom prstena je ortonormalan u saglasnosti sa:

${\frac {1}{\pi (1-\epsilon ^{2})}}\int _{\epsilon }^{1}\int _{0}^{2\pi }Z_{n}^{m}(\rho ,\theta ;\epsilon )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\theta ;\epsilon )\rho d\rho d\theta =\delta _{mm'}\delta _{nn'}$        (39)

dok je radijalni polinom prstena ortogonalan u saglasnosti sa:

$\int _{\epsilon }^{1}R_{n}^{m}(\rho ;\epsilon )R_{n'}^{m}(\rho ;\epsilon )\rho d\rho ={\frac {1-\epsilon ^{2}}{2(n+1)}}\delta _{nn'}$        (39.1)

RMS greška odstupanja talasnog fronta opisanog Zernike aberacionom funkcijom prstena je, kao i za kružni otvor:

$\omega ={\sqrt {\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}z_{nm}^{2}}}$       (40)

Grafički primer

SLIKA 11: ZERNIKE ABERACIJE I ABERACIJE NAJBOLjE ŽIŽE ZA PRSTENAST OPTIČKI OTVOR, PRIMER

Slika desno prikazuje kako prisustvo središnjeg kružnog zaklona menja aberacioni izraz za uobičajen oblik aberacije u najboljoj žiži, i Zernike aberacioni izraz u slučaju primarne sferne aberacije i kome. U prvom slučaju, aberacioni izraz za najbolju žižu za kružni otvor (1) se menja povećanjem defokusa (ρ² činilac u izrazu 2), tako da je odstupanje najmanje za deo talasnog fronta iznad prstena u odnosu na poredbenu sferu malo većeg poluprečnika zakrivljenosti (isprekidana vodoravna linija). Ovaj izraz može da se ortogonalizuje u odnosu na zajedničku (nultu) ravan Zernike aberacija dodavanjem brojnog činioca čija veličina zavisi od veličine središnjeg zaklona (2*). Zernike izraz (3) ima isti oblik odstupanja, ali da bi zadovoljio zahtev jednoobraznosti u pogledu jedinične vrednosti polinoma za ρ=1, pomnožen je činiocem 6/(1-$\epsilon$²)², gde je $\epsilon$ radijus središnjeg zaklona za jedinični radijus otvora (u ovom slučaju $\epsilon$=0.5).

Radijalni polinom za sfernu aberaciju se piše bez ugaone funkcije cosmθ, jer je ona u njenom slučaju, tj za m=0, jednaka jedinici za sve vrednosti θ, tako da je trodimenzionalni oblik odstupanja opisan polinomom dat obrtanjem odstupanja duž proizvoljnog poluprečnika za 360°.

U slučaju kome, aberaciona funkcija u uobičajenom je već ortogonalna u smislu da je zbir odstupanja sa jedne i druge strane poredbene sfere jednak nuli, ali da bi bila ortogonalna sa ostalim Zernike aberacijama, mora da bude pomnožena činiocem koji će joj dati jediničnu vrednost za ρ=1. Potrebna promena oblika talasnog fronta za najbolju žižu u slučaju kružnog otvora (1) je sasvim mala promena u dodatom nagibu (množilac sa ρ), a množitelj potreban za ortogonalizaciju sa ostalim Zernike aberacijama je sadržan u obliku radijalnog polinoma prstena (3). Pošto se u slučaju kome odstupanje menja u skladu sa proizvodom radijalnog polinoma i cosmθ, predstavljeno odstupanje talasnog fronta duž ose aberacije, koja se poklapa sa poluprečnikom kruga za θ=0, je za θ=0 na desnoj, i za θ=180° na levoj strani.

Radijalni polinomi prstena

Donja tabela sadrži Zernike radijalne polinome prstena $R_{n}^{m}(\rho ;\epsilon )$ za (n+m)≤6, tj. za Zernike aberacije piston, nagib, defokus, primarni astigmatizam, primarnu komu, trolist, sfernu aberaciju, sekundarni astigmatizam, sekundarnu komu i sekundarnu sfernu aberaciju, u tom redosledu.

TABELA 4.

n	m	$R_{n}^{m}(\rho ;\epsilon )$
0	0	1
1	1	${\frac {\rho }{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$
2	0	${\frac {2\rho ^{2}-1-\epsilon ^{2}}{1-\epsilon ^{2}}}$
2	2	${\frac {\rho ^{2}}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4}}}}$
3	1	${\frac {3(1+\epsilon ^{2})\rho ^{3}-2(1+\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4})\rho }{(1-\epsilon ^{2}){\sqrt {(1+\epsilon ^{2})(1+4\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4}}}}}$
3	3	${\frac {\rho ^{3}}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4}+\epsilon ^{6}}}}$
4	0	${\frac {6\rho ^{4}-6(1+\epsilon ^{2})\rho ^{2}+1+4\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}$
4	2	${\frac {4\rho ^{3}-3{\frac {1-\epsilon ^{8}}{1-\epsilon ^{6}}}\rho ^{2}}{\sqrt {\frac {16(1-\epsilon ^{10})-15(1-\epsilon ^{8})^{2}}{(1-\epsilon ^{2})(1-\epsilon ^{8})}}}}$
5	1	${\frac {10(1+4\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4})\rho ^{5}-12(1+4\epsilon ^{2}+4\epsilon ^{4}+\epsilon ^{6})\rho ^{3}+3(1+4\epsilon ^{2}+10\epsilon ^{4}+4\epsilon ^{6}+\epsilon ^{8})\rho }{{(1-\epsilon ^{2})^{2}}{\sqrt {(1+4\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4})(1+9\epsilon ^{2}+9\epsilon ^{4}1+4\epsilon ^{2}+\epsilon ^{6})}}}}$
6	0	${\frac {20\rho ^{6}-30(1+\epsilon ^{2})\rho ^{4}+12(1+3\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4})\rho ^{2}-(1+9\epsilon ^{2}+9\epsilon ^{4}+\epsilon ^{6})}{(1-\epsilon ^{2})^{3}}}$

Niz polinoma prstena

Zernike niz za polinome prstena je isti kao za polinome kruga, izuzev što je radijalni polinom kruga u Zernike izrazu zamenjen radijalnom polinomom prstena. Donja tabela predstavlja niz polinoma prstena sa redosledom po istom osnovu kao za niz polinoma kruga u tabeli 2.

TABELA 5:

 j  n  m    Zj(ρ,θ;$\epsilon$)                   ЗЕРНИКЕ АБЕРАЦИЈА
 1  0  0      1                            ПИСТОН
 2  1  1   2z2R2$(\rho ;\epsilon )$cosθ               НАГИБ (водораван) 
 3  1  1   2z3R3$(\rho ;\epsilon )$sinθ               НАГИБ (усправан)
 4  2  0   (√3)z4R4$(\rho ;\epsilon )$                     ДЕФОКУС 
 5  2  2   (√6)z5R5$(\rho ;\epsilon )$cos2θ        ПРИМАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (водораван) 
 6  2  2   (√6)z6R6$(\rho ;\epsilon )$sin2θ        ПРИМАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (искошен)
 7  3  1   (√8)z7R7$(\rho ;\epsilon )$cosθ       ПРИМАРНА КОМА  (водоравна) 
 8  3  1   (√8)z8R8$(\rho ;\epsilon )$sinθ       ПРИМАРНА КОМА (усправна)
 9  3  3   (√8)z9R9$(\rho ;\epsilon )$cos3θ         ТРОЛИСТ 6. РЕДА  (водораван) 
10  3  3   (√8)z10R10$(\rho ;\epsilon )$sin3θ       ТРОЛИСТ 6. РЕДА  (искошен)
11  4  0   (√5)z11R11$(\rho ;\epsilon )$            ПРИМАРНА СФЕРНА АБЕРАЦИЈА
12  4  2   (√10)z12R12$(\rho ;\epsilon )$cos2θ    СЕКУНДАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (вод.) 
13  4  2   (√10)z13R13$(\rho ;\epsilon )$sin2θ    СЕКУНДАРНИ АСТИГМАТИЗАМ (иск.)
14  4  4   (√10)z14R14$(\rho ;\epsilon )$cos4θ      ЧЕТВОРОЛИСТ 8. РЕДА (водораван)   
15  4  4   (√10)z15R15$(\rho ;\epsilon )$sin4θ      ЧЕТВОРОЛИСТ 8. РЕДА   (искошен)
16  5  1   (√12)z16R16$(\rho ;\epsilon )$cosθ    СЕКУНДАРНА КОМА  (водоравна)
17  5  1   (√12)z17R17$(\rho ;\epsilon )$sinθ    СЕКУНДАРНА КОМА  (усправна)
18  5  3   (√12)z18R18$(\rho ;\epsilon )$cos3θ      ТРОЛИСТ 8. РЕДА   (водораван)
19  5  3   (√12)z19R19$(\rho ;\epsilon )$sin3θ      ТРОЛИСТ 8. РЕДА   (искошен)
20  5  5   (√12)z20R20$(\rho ;\epsilon )$cos5θ        ПЕТОЛИСТ 10. РЕДА   (водораван) 
21  5  5   (√12)z21R21$(\rho ;\epsilon )$sin5θ        ПЕТОЛИСТ 10. РЕДА    (искошен)
22  6  0   (√7)z22R22$(\rho ;\epsilon )$           СЕКУНДАРНА СФЕРНА АБЕРАЦИЈА 

Kao i kod polinoma kruga, ovakav niz Zernike izraza predstavlja Zernike aberacionu funkciju, gde je odstupanje talasnog fronta dato zbirom vrednosti svih izraza (jednačina 38), a odgovarajuća RMS greška je data kvadratnim korenom zbira kvadrata pojedinačnih koeficijenata proširenja (jednačina 40).

Vidi još

• Optika
• Svetlost (optika)
• Furijeova optika
• Optička slika
• Sklop za stvaranje optičke slike
• Talasni front
• Funkcija širenja tačke
• Optička aberacija
• Strel racio
• Funkcija optičkog prenosa
• Razdvojna moć

Izvori

• Optical imaging and aberrations I-II, V.N. Mahajan 1998
• Reflecting telescope optics I, R.N. Wilson 2004
• Optical Shop Testing 3rd edition, D. Malacara (V. Mahajan), 2007 (online PDF)
• Basic Wavefront Aberration Theory for Optical Metrology, Wyant and Creath, 1992 (online PDF)