Keplerovi zakoni

Keplerovi zakoni opisuju kretanje planeta oko Sunca. Formulisana su tri Keplerova zakona.

Slika prikazuje 3 Keplerova zakona sa dve planetarne putanje:
(1) Putanje planeta su elipse, sa žarištima ƒ1 i ƒ2 za prvu planetu i ƒ1 i ƒ3 za drugu planetu. Sunce je smešteno u žarištu ƒ1.
(2) Dva zasenčena područja A1 i A2 imaju jednake površine i vreme za planetu 1 da prekrije područje A1 je jednako onom da prekrije područje A2.
(3) Ukupna ophodna vremena planete 1 i planete 2 imaju odnos t13/2 : t23/2.

Kretanje satelita oko matične planete i svaki drugi sličan sistem takođe se opisuju Keplerovim zakonima. Naziv su dobili po nemačkom astronomu Johanu Kepleru.

Prvi Keplerov zakonUredi

 
Sunce kao fokus u eliptičkoj orbiti

Planete se kreću po eliptičkim putanjama u kojem se u jednom od fokusa nalazi centar mase, sunce.

 

DokazUredi

Napiše se Lagranževa funkcija za Sunčev sistem (neku planetu): ,

gde je m — masa planete, M — masa Sunca, γ — univerzalna gravitaciona konstanta,  , r — rastojanje između Sunca i planete,  -radijalna brzina i   — azimutalna brzina

Sada se može uočiti jedna konstanta kretanja koristeći Lagranžove jednačine:

 
Elipsa sa značajnim tačkama

 

Kako je   to je  , odnosno   je konstanta kretanja ili moment impulsa planete u odnosu na Sunce. Sada napišimo Hamiltonovu funkciju sistema, koja u slučaju konzervativnih sila predstavlja i ukupnu energiju sistema:  ili  ; odavde je:

 . Eliminiše se promenljiva t smenom:  

Uvede se smena: ;  , pa jednačina iznad prelazi u:

 <=>  

Smenom:  =>  =>  =>  =>  

 = 

Drugi Keplerov zakonUredi

 
Ilustracija za Keplerov drugi zakon

Radijus vektor Sunceplaneta u jednakim vremenskim intervalima opisuje jednake površine.

Ovaj zakon se matematički može predstaviti izrazom:

 

Dokaz sledi iz:  

Treći Keplerov zakonUredi

Kvadrati perioda obilaska planeta oko sunca (T) srazmerni su kubovima velikih poluosa (a) njihovih putanja.

Matematički, ovaj zakon se može napisati izrazom:  

DokazUredi

Pođe se od izraza:  i primeti da je  ;  i:

 ; , a — velika poluosa elipse; e — ekscentritet elipse ili rastojanje fokusa od centra elipse; b — mala poluosa,  

 ,  ;  

U ovom slučaju:  ;  ;  

Kako je površina elipse:  =  

 <=>  

 <=>  

Vidi jošUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr. "Kepler's Second Law", Wolfram Demonstrations Project. Pristupljeno December 27, 2009.

LiteraturaUredi

Spoljašnje vezeUredi