Keplerovi zakoni

Keplerovi zakoni opisuju kretanje planeta oko Sunca. Formulisana su tri Keplerova zakona.

• Prvi Keplerov zakon − sve planete se kreću po elipsama kojima je jedno od žarišta Sunce.
• Drugi Keplerov zakon − radijus vektor (provodnica) Sunce-planet (dužina koja spaja središte Sunca i trenutni položaj planete), prelazi u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.
• Treći Keplerov zakon − Kvadrati ophodnih vremena planeta proporcionalni su kubovima njihovih srednjih udaljenosti od Sunca.

Slika prikazuje 3 Keplerova zakona sa dve planetarne putanje:
(1) Putanje planeta su elipse, sa žarištima ƒ₁ i ƒ₂ za prvu planetu i ƒ₁ i ƒ₃ za drugu planetu. Sunce je smešteno u žarištu ƒ₁.
(2) Dva zasenčena područja A₁ i A₂ imaju jednake površine i vreme za planetu 1 da prekrije područje A₁ je jednako onom da prekrije područje A₂.
(3) Ukupna ophodna vremena planete 1 i planete 2 imaju odnos t₁^3/2 : t₂^3/2.

Kretanje satelita oko matične planete i svaki drugi sličan sistem takođe se opisuju Keplerovim zakonima. Naziv su dobili po nemačkom astronomu Johanu Kepleru.

Prvi Keplerov zakon

Sunce kao fokus u eliptičkoj orbiti

Detaljnije: Prvi Keplerov zakon

Planete se kreću po eliptičkim putanjama u kojem se u jednom od fokusa nalazi centar mase, sunce.

$r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \phi }}$

Dokaz

Napiše se Lagranževa funkcija za Sunčev sistem (neku planetu):$L=T-V={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\Bigl (}-{\frac {\gamma Mm}{r}}{\Bigr )}={\frac {1}{2}}m{\Bigl (}{dr \over dt}{\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\Bigl (}{d\phi \over dt}{\Bigr )}^{2}+{\frac {\gamma Mm}{r}}$,

gde je m — masa planete, M — masa Sunca, γ — univerzalna gravitaciona konstanta, $\gamma =6\,67\cdot 10^{-11}{\frac {[N][m]^{2}}{[kg]^{2}}}$, r — rastojanje između Sunca i planete, ${dr \over dt}$-radijalna brzina i $r{d\phi \over dt}$ — azimutalna brzina

Sada se može uočiti jedna konstanta kretanja koristeći Lagranžove jednačine:

Elipsa sa značajnim tačkama

$-{d \over dt}{\Bigl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}{\Bigr )}+{\frac {\partial L}{\partial \phi }}=0$

Kako je ${\frac {\partial L}{\partial \phi }}=0$ to je ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=const$, odnosno $mr^{2}{\dot {\phi }}=p_{\phi }$ je konstanta kretanja ili moment impulsa planete u odnosu na Sunce. Sada napišimo Hamiltonovu funkciju sistema, koja u slučaju konzervativnih sila predstavlja i ukupnu energiju sistema:$H=T+V={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {\gamma Mm}{r}}=E$ ili ${\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {p_{\phi }^{2}}{mr^{2}}}-{\frac {\gamma Mm}{r}}=E$; odavde je:

${\dot {r}}={dr \over dt}={\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {{\dot {p_{\phi }}}^{2}}{m^{2}r^{2}}}+2{\frac {\gamma M}{r}}}}$. Eliminiše se promenljiva t smenom: ${\dot {r}}={\frac {d\phi }{d\phi }}{\frac {dr}{dt}}={\frac {d\phi }{dt}}{\frac {dr}{d\phi }}={\frac {p_{\phi }}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\phi }}={\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {{p_{\phi }}^{2}}{m^{2}r^{2}}}+2{\frac {\gamma M}{r}}}}$

Uvede se smena:${\frac {p_{\phi }}{mr}}=u$; $du=-{\frac {p_{\phi }dr}{mr^{2}}}$, pa jednačina iznad prelazi u:

$-{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2E}{m}}-u^{2}+2{\frac {\gamma Mmu}{p_{\phi }}}}}}=d\phi$<=> $-{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2E}{m}}+{\Bigl (}{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}u-{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}}}}=d\phi$

Smenom: $z={\frac {u-{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}}{\sqrt {{\frac {2E}{m}}+{\Bigl (}{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}}}}$=> ${\frac {-dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}=d\phi$=> $z=\cos \phi$=> ${\frac {p_{\phi }}{mr}}-{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}={\sqrt {{\frac {2E}{m}}+{\Bigl (}{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}}}\cos \phi$=> $r={\frac {\frac {p_{\phi }}{m}}{{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}+{\sqrt {{\frac {2E}{m}}+{\Bigl (}{\frac {\gamma Mm}{p_{\phi }}}{\Bigr )}^{2}}}\cos \phi }}$

$r={\frac {\frac {p_{\phi }^{2}}{\gamma Mm^{2}}}{1+{\sqrt {1+{\frac {2Ep_{\phi }^{2}}{\gamma ^{2}M^{2}m^{3}}}}}\cos \phi }}$=$r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \phi }}$

Drugi Keplerov zakon

Ilustracija za Keplerov drugi zakon

Detaljnije: Drugi Keplerov zakon

Radijus vektor Sunce—planeta u jednakim vremenskim intervalima opisuje jednake površine.

Ovaj zakon se matematički može predstaviti izrazom:

$r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=const$

Dokaz sledi iz: $mr^{2}{\dot {\phi }}=p_{\phi }$

Treći Keplerov zakon

Detaljnije: Treći Keplerov zakon

Kvadrati perioda obilaska planeta oko sunca (T) srazmerni su kubovima velikih poluosa (a) njihovih putanja.

Matematički, ovaj zakon se može napisati izrazom: ${\frac {a_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}}={\frac {a_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}}=const$

Dokaz

Pođe se od izraza:$r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \phi }}$ i primeti da je $r={\frac {p}{1-\epsilon }}=a+e$;$\phi =\pi$ i:

$r={\frac {p}{1+\epsilon }}=a-e$;$\phi =0$, a — velika poluosa elipse; e — ekscentritet elipse ili rastojanje fokusa od centra elipse; b — mala poluosa, $b={\sqrt {a^{2}-e^{2}}}$

$a={\frac {p}{1-\epsilon ^{2}}}$, $e=a\epsilon$; $b=a{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}$

U ovom slučaju: $p={\frac {p_{\phi }^{2}}{\gamma Mm^{2}}}$; $1-\epsilon ^{2}=-{\frac {2Ep_{\phi }^{2}}{\gamma ^{2}M^{2}m^{3}}}$; $a=-{\frac {\gamma Mm}{2E}}$

Kako je površina elipse: $S=\pi ab=\int _{0}^{T}{r^{2}{\dot {\phi }}dt}$= $\int _{0}^{T}{{\frac {p_{\phi }}{m}}dt}={\frac {p_{\phi }}{m}}T$

$\pi ab=\pi a^{2}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}={\frac {p_{\phi }}{m}}T$<=> $\pi ^{2}a^{4}{\Bigl (}1-\epsilon ^{2}{\Bigr )}={\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}}}T^{2}$

${\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}}}T^{2}=\pi ^{2}{\frac {\gamma ^{4}M^{4}m^{4}}{16E^{4}}}{\frac {2Ep_{\phi }^{2}}{\gamma ^{2}M^{2}m^{3}}}$<=> $T^{2}={\frac {\pi ^{2}\gamma ^{2}M^{2}m^{3}}{8E^{3}}}=\pi ^{2}a^{3}$

Vidi još

• Johan Kepler
• Mehanika
• Gravitacija
• Gravitaciono polje
• Njutnov gravitacioni zakon
• Keplerova uloga

Literatura

• Kepler's life is summarized on pages 523–627 and Book Five of his magnum opus, Harmonice Mundi (harmonies of the world), is reprinted on pages 635–732 of On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy (works by Copernicus, Kepler, Galileo, Newton, and Einstein). Stephen Hawking, ed. 2002. ISBN 978-0-7624-1348-5.
• A derivation of Kepler's third law of planetary motion is a standard topic in engineering mechanics classes. See, for example, pages 161–164 of Meriam, J. L. (1971) [1966]. „Dynamics, 2nd ed”. New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-59601-1. .
• Murray and Dermott, Solar System Dynamics. Cambridge University Press.1999. ISBN 978-0-521-57597-3.
• V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Chapter 2. Springer.1989. ISBN 978-0-387-96890-2.

Spoljašnje veze

• B.Surendranath Reddy; animation of Kepler's laws: applet
• Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html, an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, pp. 112)
• David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law - Java Interactive Tutorial, https://web.archive.org/web/20060910225253/http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html, an interactive Java applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
• University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion [1]
• Equant compared to Kepler: interactive model [2]
• Kepler's Third Law:interactive model [3]
• Solar System Simulator (Interactive Applet)
• "Derivation of Kepler's Laws" (from Newton's laws) at Physics Stack Exchange.
• Crowell, Benjamin, Light and Matter, an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus (see section 15.7)
• Audio – Cain/Gay (2010) Astronomy Cast Johannes Kepler and His Laws of Planetary Motion
• Solar System Simulator (Interactive Applet)
• Kepler and His Laws, educational web pages by David P. Stern