Tetracija

Tetracija (ili hiper-4) u matematici je hiperoperacija koja sledi posle stepenovanja i definiše se kao ponavljanje stepenovanja. Reč je skovao Ruben Luis Gudstajn, od tetra- (četiri) i ponavljanja. Tetracija se koristi za notaciju veoma velikih brojeva. Prikazane ovde su prve četire hiperoperacije, sa tetracijom kao četvrtom i redom, kao nultom.

(unarna operacija označava $a'=a+1$ uzimajući $a$ i i donoseći broj posle $a$):

1. Sabiranje 

   $a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}$

   n kopija 1 dodatih na a.

2.  Množenje

   $a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$

   n kopija a kombinovanih sabiranjem.

3. Stepenovanje

   $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

   n kopija a kombinovanih množenjem.

4. Tetracija

   ${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$

   n kopija a kombinovanih množenjem, zdesna nalevo.

Gornji primer se čita kao "n-ta tetracija od a". Svaka operacija je definisana pomoću iteracije prethodne (sledeća operacija u nizu je pentacija). Tetracija nije ni elementarna funkcija ni osnovna rekurzivna funkcija.

Najosnovnija operacija je sukcesija $(a'=a+1)$. Sabiranje $(a+n)$ je primarna operacija, mada se, za prirodne brojeve, može posmatrati kao lančana sukcesija n sukcesora od a. Množenje ($an$) je takođe osnovna operacija, koja se, za prirodne brojeve, može posmatrati kao lančano sabiranje koje uključuje n brojeva od a. Stepenovanje ($a^{n}$) se može posmatrati kao lančano množenje koje uključuje n brojeva od a. Analogno, tetracija ($^{n}a$) može se posmatrati kao lančani stepen koji uključuje n brojeva od a. Parametar a može biti nazvan osnovnim parametrom u nastavku, dok parametar n može biti nazvan visinskim parametrom (koji je sastavni u prvom pristupu, ali može se generalizovati na parcijalnim, realnim i kompleksnim visinama, vidi dole).

Definicija

Za bilo koji pozitivan realan broj $a>0$ i ne-negativan ceo broj $n\geq 0$, definišemo $\,\!{^{n}a}$ sa:

Iterativni stepeni naspram iterativnih eksponenata

Kao što se vidi iz definicije, prilikom procene tetracije izražene kao stepenovane kule je stepenovanje koje se vrši na najdubljem nivou prvi put (u notaciji, na najvišem nivou).

Imajte na umu da stepenovanje nije asocijativno, tako će ocenu izraza u drugom dovesti do drugačijeg odgovora:

Dakle, eksponencijalne kule moraju biti ocenjena od vrha ka dnu (ili desno na levo). Računarski programeri se odnose na ovaj izbor, kao desno asocijativno.

Kada su a i 10 uzajamno prosti, možemo izračunati poslednjih m decimalnih cifara od $\,\!\ ^{n}a$ korišćenjem Ojlerove teoreme.

Terminologija

Postoje mnogi termini za tetraciju, od kojih svaki ima neku logiku, ali neki nisu postali obični iz jednog ili drugog razloga. Ovde je poređenje svakog termina sa svojim obrazloženjem i kontra-obrazloženjem.

• Termin tetracije, uveo je Gudstajn u svom radu 1947 Transfinitni redni brojevi u rekurzivnoj teoriji brojeva  (generalizacija rekurzivne baze-zastupljenosti koristi u Gudstajnovoj teoremi da koristi veće operacije), stekao je dominaciju. Takođe je popularizovan od strane Rudi Rukera u Infiniti i um.
• Termin superstepenovanja je objavio Brumer u svom radu Superstepenovanje 1987. Ranije je koristio Ed Nelson u svojoj knjizi predikativnih aritmetika, Prinston Univerziti Pres, 1986.
• Termin hiperstepen  je prirodna kombinacija hipera i stepena, koji prigodno opisuje tetraciju. Problem je u značenju razorne hiperinflacije u odnosu na hiperoperacione sekvence. Kada se razmatraju hiperoperacije, termin hiper se odnosi na sve činove, a termin super se odnosi na rangiranje 4 ili tetraciju. Dakle, pod ovim razmatranjima hiperstepen je pogrešan, jer se odnosi samo na tetraciju.
• Termin kula stepena  se povremeno koristila, u formi "kula stepena reda n" za ${\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop n}$. Ovo je pogrešan naziv, međutim, s obzirom da se tetracija ne može iskazati sa iterativnim funkcijama stepena (vidi gore), jer je to iterativna eksponencijalna funkcija.

Zahvaljujući delom na neke zajedničke terminologije i slične oznake upozorenja, tetracija se često meša sa blisko povezanim funkcijama i izrazima. Evo nekoliko srodnih termina:

Forma	Terminologija
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}$	Tetracija
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}$	Iterativni eksponenti
$a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}$	Ugnežđeni eksponenti (takođe kule)
$a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$	Beskonačni eksponenti (takođe kule)

U prva dva izraza a je baza, a broj puta a pojavljuje se u visini (dodat je jedan za x). U trećem izrazu, n je visina, ali svaka osnova je različita.

Mora se voditi računa kada se govori o iterativnim eksponenatima, jer je uobičajeno da pozove izraze ovog oblika iterativnog stepenovanja, koje je dvosmisleno, jer to može značiti ili iterativno stepenovanje ili iterativne eksponenente.

Notacija

Postoji mnogo različitih notacionih stilova koji se mogu koristiti da izraze tetracju (takođe poznati kao hiper-4; neki od njih mogu se koristiti kao i za hiper-5, hiper-6, i više hiperoperacije).

{| class="wikitable" ! Ime !Forma !Opis |- |Standardna
notacija |$\,{}^{n}a$ |Korišćeno od
strane Maurera [1901] i Gudstajna [1947];  Rudi Rukerova knjiga Beskonačnost i um koja je popularizovala notaciju |- |Knutova  notacija |$a{\uparrow \uparrow }n$ |Dozvoljava ekstenziju dodavanjem više strelica, ili, čak snažnije, indeksirana strelica. |- |Konvejova  lančana reakcija |$a\rightarrow n\rightarrow 2$ |Dozvoljava ekstenziju povećanjem 2 broja (ekvivalent sa ekstenzijama iznad), ali takođe, čak snažnije, proširenjem lanca |- |Akermanova  funkcija |${}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3$ |Dozvoljava specijalan slučaj $a=2$ da bude napisan uslovima Akermanove funkcije. |- |Iterativna
eksponencijalna
notacija |${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$ |Dozvoljava jednostavnu ekstenziju da ponavlja eksponente iz inicijalnih vrednosti različitih od 1. |- | Hušmandova notacija | $\operatorname {uxp} _{a}n$

$a^{\frac {n}{}}$ |- |Notacija
hiperoperacije |$a[4]n$
$H_{4}(a,n)$ |Dozvoljava ekstenziju povećanjem broja 4; ovo daje porodicu hiperoperacija |- |Notacija teksta |a^^n |Pošto je gornja strelica korišćenja identično za znak za umetanje  (^), tetracija bi mogla biti napisana kao (^^); pogodna za ASCII. |- |Buverov niz notacije |{a,b,2} |} Jedna notacija iznad koristi ponovljeni eksponencijalni zapis; uopšteno ovo se definiše na sledeći način:

$\exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}$ sa n "a"s.

Ne postoji onoliko oznaka za ponovljne eksponente, ali evo nekoliko:

Ѕ {| class="wikitable" ! Name ! Form ! Description |- |
|$\exp _{a}^{n}(x)$ |Euler coined the notation $\exp _{a}(x)=a^{x}$, and iteration notation $f^{n}(x)$ has been around about as long. |- |Knuth's up-arrow notation |$(a{\uparrow })^{n}(x)$ |Allows for super-powers and super-exponential function by increasing the number of arrows; used in the article on large numbers. |- |Ioannis Galidakis' notation |$\,{}^{n}(a,x)$ |Allows for large expressions in the base. |- |Text notation |exp_a^n(x) |Based on standard notation; convenient for ASCII. |- |J Notation |x^^:(n-1)x |Repeats the ASFFFFexponentiation. See J (programming language) |}

Primeri

U sledećoj tabeli, većina vrednosti su prevelike da piše u naučnim notaciji, tako ponovio eksponencijalno notacija se koristi da ih izraziti u bazu 10. Vrednosti koje sadrže decimalni zarez su približne.

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$	${}^{5}x$
1	1	1	1	1
2	4	16	65,536	2.00353 × 1019,728
3	27	7,625,597,484,987	$\exp _{10}^{3}(1.09902)$ (3.6 × 1012 digits)	$\exp _{10}^{4}(1.09902)$
4	256	1.34078 × 10154	$\exp _{10}^{3}(2.18726)$ (8.1 × 10153 digits)	$\exp _{10}^{4}(2.18726)$
5	3,125	1.91101 × 102,184	$\exp _{10}^{3}(3.33928)$ (1.3 × 102,184 digits)	$\exp _{10}^{4}(3.33928)$
6	46,656	2.65912 × 1036,305	$\exp _{10}^{3}(4.55997)$ (2.1 × 1036,305 digits)	$\exp _{10}^{4}(4.55997)$
7	823,543	3.75982 × 10695,974	$\exp _{10}^{3}(5.84259)$ (3.2 × 10695,974 digits)	$\exp _{10}^{4}(5.84259)$
8	16,777,216	6.01452 × 1015,151,335	$\exp _{10}^{3}(7.18045)$ (5.4 × 1015,151,335 digits)	$\exp _{10}^{4}(7.18045)$
9	387,420,489	$\exp _{10}^{2}(8.56784)$ (3.7 × 108 digits)	$\exp _{10}^{3}(8.56784)$ (4.1 × 10369,693,099 digits)	$\exp _{10}^{4}(8.56784)$
10	10,000,000,000	1010,000,000,000	$\exp _{10}^{3}(10)$ (1010,000,000,000 digits)	$\exp _{10}^{4}(10)$

Ekstenzije

Tetration can be extended to define ${^{n}0}$ and other domains as well.

Extension to complex bases

Tetration by period

Tetration by escape

${}^{n}i$	Approximate Value
${}^{1}i=i$	$i$
${}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}$	$0.2079$
${}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}$	$0.9472+0.3208i$
${}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}$	$0.0501+0.6021i$
${}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}$	$0.3872+0.0305i$
${}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}$	$0.7823+0.5446i$
${}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}$	$0.1426+0.4005i$
${}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}$	$0.5198+0.1184i$
${}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}$	$0.5686+0.6051i$

${^{0}1}=1=1^{n}$ for any $\,\!n={^{(-1)}1}$.

$\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)$ for all $x>0$

Approximation	Domain
$\,{}^{x}a\approx x+1$	for $-1<x<0$
$\,{}^{x}a\approx a^{x}$	for $0<x<1$
$\,{}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}$	for $1<x<2$

Examples

• $f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,$
• $f$ is convex on $(-1,0),$
• $f^{\prime }(0^{-})\leq f^{\prime }(0^{+}).$

${}^{n}({}^{1/n}a)=\underbrace {({}^{1/n}a)^{({}^{1/n}a)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{({}^{1/n}a)}}}}}}} _{n}\neq a$.

$S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)$

${\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x$

Super-logaritam

Jednom kontinuirano povećanja (h) u definiciji tetracije , ka , je izabran , odgovarajući super Logaritam Sloga k se definiše za sve realne brojeve k , a > 1 . 

Funkcija $\mathrm {slog} _{a}{x}$ obezbeđuje:

$\mathrm {slog} _{a}{^{x}a}=x$

$\mathrm {slog} _{a}a^{x}=1+\mathrm {slog} _{a}x$

$\mathrm {slog} _{a}x=1+\mathrm {slog} _{a}\log _{a}x$

$\mathrm {slog} _{a}x>-2$

Vidi još

• Ackermann function
• Double exponential function
• Hyperoperation
• Iterated logarithm
• Symmetric level-index arithmetic

Literatura

• Daniel Geisler, tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
• Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function Arhivirano na sajtu Wayback Machine (17. januar 2010).
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
• R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981). str. 235–252.
• Hans Maurer. "Über die Funktion $y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901). str. 33–50. (Reference to usage of $\ {^{n}a}$ from Knobel's paper.)

Spoljašnje veze

• Daniel Geisler's site on tetration
• Tetration Forum
• Tetration - TORI - Mizugadro, the research site by Dmitrii Kouznetsov
• Gottfried Helms' site on tetration