Trougao

Trougao je mnogougao sa tri stranice. Tri tačke gde se stranice (duži) ravni presecaju zovu se temena. Trouglovi se u matematici ponekad identifikuju nabrajanjem njihovih temena. Na primer, trougao ABC. Trigonometrija je oblast geometrije i matematike koja se bavi trouglovima.

Trougao je u geometriji, i posebno u planimetriji, zatvorena izlomljena linija sastavljena od tri duži, ili je to deo ravni ograničen sa tri duži. Drugim rečima:

Pravolinijski trougao (jednodimenzionalan) čine tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj i tri duži sa krajevima u tim tačkama.
Trougao je mnogougao sa najmanjim brojem stranica.

U Euklidskoj geometriji bilo koje tri nekolinearne tačke jednoznačno određuju trougao.

Osnovni pojmovi uredi

Duži koje povezuju po dve od tri date nekolinearne tačke A, B i C, nazivaju se stranicama trougla, a te tri tačke njegovim temenima. Uglovima, tačnije unutrašnjim uglovima, trougla nazivaju se tri ugla koje grade poluprave iz temena, a koje prolaze kroz ostala dva temena.

U zavisnosti od stranica, trouglovi se dele na:

raznostranične - sve tri stranice su različitih dužina;
jednakokrake - dve stranice su jednake;
jednakostranične ili pravilne - sve stranice su jednake, pa su i svi uglovi jednaki.


jednakostranični	jednakokraki	raznostranični

U zavisnosti od uglova, trouglovi se dele na:

oštrougle - sva tri ugla su oštri (manji od 90 stepeni);
pravougle - jedan od uglova je prav (90°) i;
tupougle - jedan ugao je tup (veći od 90°).


pravougli	tupougli	oštrougli

Trougao sa temenima A, B, C simbolički se označava $\Delta ABC,$ ili sa $\Delta BCA,$ itd, šest oznaka jednog trougla. Stranice i uglovi trougla nazivaju se osnovnim elementima trougla. Jednodimenzioni trougao ponekad se naziva konturni ili skeletni. Trougao deli ravan na dve oblasti od kojih je jedna ispupčena (konveksna) a druga neispupčena (udubljena, ili konkavna). Tačke ispupčene oblasti nazivaju se unutrašnjim tačkama trougla, tačke neispupčene oblasti spoljašnjim. Često se pod trouglom (dvodimenzionalnim) podrazumeva trougao (jednodimenzionalni) zajedno sa unutrašnjim tačkama. Ponekad se dvodimenzionalni trougao naziva kompaktnim, neprekidnim, ili pločastim. Jednodimenzionalni (konturni) i dvodimenzionalni (kompaktni) trouglovi imaju težište, prvi u preseku bisektrisa, drugi u preseku medijana. Kada je trougao jednakostraničan, tada se težišta jednodimenzionalnog i dvodimenzionalnog trougla poklapaju. Obično je iz konteksta jasno o kojem trouglu je reč, na primer, kada se govori o površini trougla tada se podrazumeva dvodimenzionalni trougao, trougaona ploča.

Zbir uglova u trouglu jednak je ispruženom uglu (180 stepeni, tj. pi radijana), u geometriji Euklida, manji je od toga i promenljiv u geometriji Lobačevskog, odnosno veći je do ispruženog, ali je manji od tri ispružena ugla (540°, tj. 3π) u geometriji Rimana.

Poznate teoreme o zavisnosti strana i uglova u trouglu (naspram jednakih strana leže jednaki uglovi, itd.) tačne su i u apsolutnoj geometriji, međutim, niz osobina trougla ravni Lobačevskog razlikuje se od osobina trougla ravni Euklida. Na primer, u ravni Lobačevskog postoje trouglovi oko kojih se ne može opisati kružnica; ako su tri ugla jednog trougla jednaka trima uglovima drugog trougla tada su ti trouglovi podudarni, jednaki, tj. u geometriji Lobačevskog ne postoje slični a nejednaki trouglovi.

Srodni pojmovi uredi

Krivolinijski trougao je skup tri tačke A, B, C, koje ne leže na jednoj pravoj, povezani između sebe lukovima krivih linija i delovima pravih koje leže u ravni određenoj tačkama A, B, C. Na primer, kružni isečak je krivolinijski trougao.
Trotemenik je trougao projektivne geometrije.
Sferni trougao.
Paskalov trougao, trougao Paskala, ili aritmetički trougao.
Trougaoni brojevi.

Pašova aksioma uredi

Hilbertove aksiome elementarne geometrije sadrže aksiome rasporeda (2. grupa aksioma), među kojima je najvažnija

Pašova aksioma

Pašova aksioma: Ako su A, B i C tri nekolinearne tačke, D tačka između A i B i u ravni ABC prava p, koja sadrži tačku D i ne sadrži ni jednu od tačaka A, B, C, tada na pravoj p postoji tačka E, takva da je B-E-C ili A-E-C, tj. E je između B i C ili je između A i C.

Tvrđenje Pašove aksiome je opširno, ali očigledno. Ako prava ulazi u trougao, ona mora i izaći iz trougla. Reč je, dakle, o već po sebi važnoj osobini trouglova, ali i o sledećoj posledici.

Teorema 1: Ako su A i B dve različite tačke, tada postoji tačka С između A i B.

Tačka С između dve date tačke

Dokaz: Pozivamo se na Hilbertovu aksiomu veze (pripadanja): svaka prava sadrži najmanje dve različite tačke; postoje tri nekolinearne tačke. Zatim se pozivamo na Hilbertovu aksiomu rasporeda: ako su B i D dve razne tačke tada postoji tačka E, takva da je B-D-E. Na Pašovu aksiomu i koristimo sliku desno.; Dakle, postoji tačka D, takva da su A, B, D nekolinearne tačke (aksioma veze). Zatim, postoji tačka E takva da je B-D-E (aksioma rasporeda), i slično, na pravoj АЕ postoji tačka F, takva da je A-E-F. Sada su A, B i E tri tri nekolinearne tačke i (Pašova aksioma) prava FD prolazi kroz tačku С takvu da je A-C-B. Kraj dokaza.

Primenjujući ovu teoremu dalje na tačke A, C itd. pokazuje se da je između proizvoljnih tačaka moguće umetanje beskonačno mnogo novih tačaka. Stranica trougla ima beskonačno mnogo tačaka.

Podudarnost trouglova uredi

Dva trougla ABC i A₁B₁C₁ su podudarna ako postoji izometrija koja prvi prevodi na drugi. Drugim rečima, dva trougla su podudarna kada imaju jednake odgovarajuće stranice, jednake uglove, težišnice, visine, itd. Tada pišemo

\Delta ABC\cong \Delta A_{1}B_{1}C_{1}.

Površina trougla, i mnogougla, je pozitivno orijentisana kada se krećemo od temena do temena ABCDE... po mnogougaonoj liniji, leksikografskim poretkom, i pri tome nam je oblast mnogougla uvek sa leve strane. Dakle, pozitivan smer obilaženja trougla je obrnut smeru kazaljke na satu. Stranice suprotne temenima A, B, C trougla obično označavamo malim slovima a, b, c. Uglove u tim temenima označavamo grčkim malim slovima α, β, γ. Prema tome, prethodna podudarnost može se napisati i ovako:

a=a_{1},\;b=b_{1},\;c=c_{1},\;\alpha =\alpha _{1},\;\beta =\beta _{1},\;\gamma =\gamma _{1}.

Da bi se dokazala podudarnost dva trougla nije potrebno dokazivati podudarnost (jednakost) svih stranica i svih uglova tih trouglova, dovoljne su samo tri jednakosti. Dovoljna su sledeća četiri stava:

SSS: Dva trougla su podudarna ako i samo ako su stranice jednog trougla jednake odgovarajućim stranicama drugog.
SUS: Dva trougla su podudarna ako i samo ako su dve stranice jednog trougla i ugao zahvaćen njima jednaki odgovarajućim stranicama i uglu drugog trougla.
USU: Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba odgovarajuća ugla nalegla na tu stranicu.
SSU: Dva trougla su podudarna ako i samo ako su dve stranice i ugao naspram veće od njih u jednom trouglu jednaki sa dve odgovarajuće stranice i uglom drugog.

Stav SSU

Poslednji stav se može izreći i ovako: Dva trougla su podudarna ako i samo ako su dve stranice i ugao naspram jedne od njih u jednom trouglu jednaki sa dve odgovarajuće stranice i uglom drugog, a oba trougla su iste vrste, tj. oba su oštra, pravougla, ili tupougla. Međutim, bez dodatka da je ugao naspram veće strane, ili da su oba trougla iste vrste, imali bismo situaciju kao na slici levo. Trouglovi AB₁C i AB₂C su očigledno različiti (razlikuju se za trougao B₁B₂C), ali oba imaju jednake po dve strane i ugao: a, b, α.

Često je lakše dokazati podudarnost nekih trouglova nego mnogouglova, pa i stranica na nekoj geometrijskoj figuri. Zato je podudarnost trouglova veoma važna u geometriji.

Uglovi i stranice uredi

Teorema 2: Naspram jednakih stranica trougla nalaze se jednaki uglovi, i obrnuto, naspram jednakih uglova su jednake stranice.
Dokaz: Dat je trougao ABC. Neka je AC = BC. Tada je i BC = AC, pa kako je AB = BA to iz stava podudarnosti SSS sledi $\Delta ABC\cong \Delta BAC.$ Dakle $\angle ABC=\angle BAC.$; Obrnuto, ako je $\angle ABC=\angle BAC,$ tada prema stavu USU sledi podudarnost trouglova ABC i BAC, a otuda jednakost stranica AC i BC. Kraj dokaza.

Jednakokraki trougao

Trougao koji ima dve jednake stranice naziva se jednakokraki trougao, a ona treća stranica se tada naziva osnovica. Dakle, jednakokraki trougao na osnovici ima jednake uglove. Kada su sve tri stranice trougla jednake, trougao se naziva jednakostraničan. Kod jednakostraničnog trougla, prema istoj teoremi (2), sva tri unutrašnja ugla su jednaka. Medijana trougla je duž koja spaja vrh sa sredinom suprotne stranice trougla. Prava koja sadrži medijanu naziva se težišna linija trougla, a kod nas se ponekad težišna linija smatra isto što i medijana. Visina trougla je duž koja spaja vrh sa najbližom tačkom na suprotnoj stranici trougla. Visina je normalna na suprotnu stranicu trougla. Na kraju, podsetimo se da je prav ugao (90°), po definiciji onaj ugao koji je jednak svom naporednom (suplementnom) uglu.

Teorema 3: Težišna linija koja odgovara osnovici jednakokrakog trougla istovremeno predstavlja visinu na osnovicu i simetralu ugla kod vrha.

Dokaz: Neka je CD težišna linija jednakokrakog trougla ABC, gde je AC = BC, kao na slici desno. Po pretpostavci je AD = BD, a svakako je CD = CD, pa su trouglovi ACD i BCD podudarni po stavu SSS. Otuda $\angle ACD=\angle BCD,$ pa je prava CD simetrala ugla ACB. Zatim, iz $\angle ADC=\angle BDC,$ to su dva naporedna ugla, što znači da su oni pravi, te da je CD visina. Kraj dokaza.

Slično bismo dokazali i sledeće tvrđenje: Simetrala ugla naspram osnovice jednakokrakog trougla normalna je na osnovicu.

Naspram veće strane je veći ugao trougla

Teorema 4: Naspram veće strane trougla nalazi se veći ugao i obratno, naspram većeg ugla trougla nalazi se veća stranica.

Dokaz: Kao na slici desno, neka je a > b. Odredimo na stranici a tačku D, tako da je CD = b. Trougao ACD je jednakokrak, pa su uglovi CAD i CDA jednaki, recimo φ. Tačka D je između B i C, pa je krak AD ugla CAD u uglu α, te je α > φ. Međutim, u trouglu ABD ugao φ je spoljašnji, pa je φ>β. Iz toga sledi α>β.; Obrnuto, neka je α>β. Tada ne može biti a = b, jer bi prema prethodnoj teoremi (2) moralo biti α = β, a ne može biti ni a < b, jer bi prema prethodnom dokazu moralo biti β>α, što je suprotno sa pretpostavkom. Dakle jedino moguće je a > b. Kraj dokaza.

Primenjena na pravougli trougao, ova teorema kaže da je najveća stranica naspram pravog ugla. Ona se naziva hipotenuza. Ostale dve stranice, koje su međusobno normalne, nazivaju se katete pravouglog trougla.

Nejednakost trougla uredi

Teorema 5: (O nejednakosti trougla) Bilo koja stranica trougla manja je od zbira ostale dve. Ekvivalentno je razlika dve stranice trougla uvek manja od treće.

Nejednakost trougla

Dokaz: Dat je trougao ABC kao na slici. Tačka D je na produžetku prave AC, sa stane С, i CD = CB = a. Tada je AD = b + а. Trougao BCD je jednakokrak, pa je $\angle CBD=\angle CDB,$ recimo φ. Uglovi u temenu B su susedni te je $\angle ABD>\phi ,$ pa u trouglu ABD imamo $\angle ABD>\angle ADB,$ i na osnovu prethodne teoreme sledi AD > AB, tj. b + a > c. Slično se dokazuje da je a + c > b, i b + c > a.; Dalje, neka je, na primer, c ≥ b ≥ a. Tada iz već dokazanih nejednakosti za zbir stranica,; iz a + b > c sledi b > c - a i a > c - b, a iz a + c > b sledi c > b - a. Kraj dokaza.

Za proizvoljne tri tačke A, B, C uvek važi $|{\overline {AC}}-{\overline {CB}}|\leq {\overline {AB}}\leq {\overline {AC}}+{\overline {CB}}.$ Ta nejednakost trougla zbog svoje očiglednosti u nekim oblastima matematike, ili primene, se uzima za polaznu tvrdnju (aksiom).

Značajne tačke trougla uredi

Pored temena, postoje još četiri osnovne značajne tačke za svaki trougao. To su centar upisanog kruga, koji se nalazi na preseku simetrala uglova. Centar opisanog kruga koji se nalazi na preseku simetrala stranica. Ortocentar je presek visina. Težište je tačka u kojoj se seku težišnice; težišnica je prava na kojoj se nalazi medijana a koja spaja vrh sa sredinom suprotne stranice trougla. Često se uzima da je težišnica isto što i medijana trougla. Težište deli težišnicu u odnosu 2:1 počev od vrha. U teoremama koje slede dokazujemo da je svaka od ove četiri tačke jedinstvena (tri prave se ne moraju seći u jednoj tački).

Upisani krug

Teorema 6: (O centru upisanog kruga) Simetrale uglova trougla seku se u jednoj tački.
Dokaz: Na slici desno, О je presečna tačka simetrala OA i OB uglova α i β trougla ABC. Neka su OM, ON, OP normale iz O na stranice AB, BC, CA. Pravougli trouglovi AMO i APO su podudarni jer imaju zajedničku hipotenuzu i po jedan oštar ugao jednak α/2. Zato je ОР = ОН. Isto tako, iz podudarnosti trouglova BMO i BNO sledi OM = ON. Iz OP = OM, OM = ON sledi OP = ON. Dakle, podudarni su i trouglovi CNO i CPO, jer imaju zajedničku hipotenuzu CO. Otuda su jednaki uglovi BCO i ACO, što znači da je prava CO simetrala ugla γ, i tačka O je zajednička tačka simetrala sva tri ugla. Kraj dokaza.

Upisani krug u trougao osim tačaka M, N i P, tj. podnožja normala iz centra kruga O na stranice AB, BC i AC, nema drugih zajedničkih tačaka sa datim trouglom. Naime, ako pretpostavimo da ovaj krug ima, na primer, sa stranicom AB zajedničku tačku M' različitu od M tada bi trougao OMM' bio pravougli sa hipotenuzom OM'. Dakle, bilo bi OM'>OM, pa bi tačka M' bila van kruga.

Opisani krug

Teorema 7: (O centru opisanog kruga) Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački.
Dokaz: Simetrale s_a, s_b stranica BC i AC trougla ABC seku se u tački S, slika desno. Lako je dokazati BS = CS, jer su trouglovi BSA₁ i CSA₁ podudarni, pri čemu je sa A₁ označeno središte stranice BC. Dalje, iz $S\in s_{b}$ sledi CS = AS, pa i AS = BS. Dakle, trougao ABS je jednakokraki pa tačka S pripada i simetrali duži AB, tj. s_c. Kraj dokaza.

Teorema 8: (O ortocentru) Prave koje sadrže visine trougla imaju jednu zajedničku tačku.
Dokaz: U temenima A, B i C trougla ABC konstruišimo prave paralelne sa suprotnim stranicama BC, AC i AB, slika levo. Te prave se seku i određuju trougao A₁B₁C₁. Svaki od spoljnih trouglova A₁CB, CB₁A i BAC₁ je podudaran sa trouglom ABC, jer imaju po jednu zajedničku stranicu i jednake uglove sa paralelnim kracima. Zato je AC₁ = AB₁ = BC, pa je tačka A središte duži B₁C₁, a visina (h_a) iz temena A trougla ABC je simetrala stranice B₁C₁ trougla A₁B₁C₁. Slično se dokazuje i za ostale visine trougla ABC da su simetrale stranica trougla A₁B₁C₁. Prema prethodnoj teoremi, one se seku u jednoj tački, sada označenoj sa H, a koju nazivamo ortocentar. Kraj dokaza.

Poslednja od četiri navedene značajne tačke trougla je težište. Ono se nalazi na preseku težišnica, a težišnica je linija koja spaja vrh sa sredinom suprotne stranice trougla. Duž koja spaja dve sredine stranica naziva se srednja linija trougla. Poznato je da je srednja linija trougla paralelna trećoj stranici i jednaka njenoj polovini.

Srednja linija trougla

Na primer, na slici desno, MN je srednja linija trougla ABC. To znači da su АМ i BN težišnice toga trougla, a da je T težište. Dalje, neka su P i Q sredine tih težišnica, istim redom. Tada je PQ srednja linija trougla ABT, pa su obe duži MN i PQ paralelne istoj osnovici AB i jednake njenoj polovini, što znači da su one i međusobno paralelne i jednake. Zatim, da je АТ dvostruko duže od ТМ. Dakle, dokazali smo da težište T deli (proizvoljnu) težišnicu AM u odnosu 2:1 počev od vrha. Ono što nismo dokazali je jedinstvenost tačke T za sve tri težišnice. O tome govori sledeća teorema.

Težište trougla

Teorema 9: (O težištu) Težišne linije (medijane) trougla seku se u jednoj tački, težištu trougla. Dužina dela težišne linije od težišta do temena dva puta je veća od dužine dela linije od težišta do središta naspramne stranice.
Dokaz: Neka je T zajednička tačka težišnih linija AM i BN trougla ABC, na slici levo. Treba dokazati da i težišna linija CP prolazi kroz T. Pretpostavimo suprotno, da se CP i AM seku u tački S, različitoj od T. Tada je $AS=2SM,$ pa je $AS={\frac {2}{3}}AM.$ Isto tako je $AT=2TM,$ pa je $AT={\frac {2}{3}}AM.$ Što znači da je $AT=AS.$ To je nemoguće, jer su obe tačke S i T između tačaka A i M. Kraj dokaza.

Lako je razumeti da su centar upisanog kruga O i težište T uvek u trouglu. Pravougli trougao ima centar opisanog kruga S na hipotenuzi, a ortocentar H u temenu pravog ugla. Kod tupouglog trougla centar opisanog kruga i ortocentar su izvan trougla. Kod oštrouglog trougla su sve četiri navedene značajne tačke u trouglu. Jednakokraki trougao ima sve četiri značajne tačke na visini koja odgovara osnovici, a kod jednakostraničnog trougla su sve četiri u samo jednoj tački.

Lako je dokazati da je centar upisanog kruga trougla najbliži temenu najvećeg ugla.

Simetrala ugla trougla deli naspramnu stranicu trougla u odnosu jednakom odnosu preostalih dveju stranica.

Vidi još uredi

Literatura uredi

Dr Pavle Miličić, dr Zoran Kadelburg, mr Vladimir Stojanović, dr Branislav Boričić, MATEMATIKA, za 1. razred srednje škole, programi za četiri časa nastave matematike nedeljno, drugo izdanje, Naučna knjiga, Beograd, 1993.

Spoljašnje veze uredi

Sajt o trouglu