Трапез (геометрија)

Трапез
Трапез
	Трапез
Тип	четвороугао
Ивице и темена	4
Површина
Својства	конвексан

У Еуклидовој геометрији, трапез је конвексни четвороугао са најмање једним паром паралелних страница.^[1]^[2] Паралелне странице се зову основице трапеза, а друге две странице се зову краци или бочне странице (ако нису паралелне, онда постоје два пара основица). Скаленски трапез је трапез без икаквих страница са једнаким мерама,^[3] за разлику од посебних случајева испод.

Висина трапеза h је растојање између две паралелне странице. Збир углова на једном од кракова је 180° тј. α + δ = β + γ = 180°.

Етимологија трапез vs трапезоид уреди

Хатонова грешка 1795.^[4]

Старогрчки математичар Еуклид дефинисао је пет типова четвороугла, од којих су четири имала два скупа паралелних страница (познате као квадрат, правоугаоник, ромб и ромбоид), и последњи који није имао два скупа паралелних страница – τραπέζια (trapezia^[5] дословно „сто“, сам од τετράς (tetrás), „четири“ + πέζα (péza), „стопало; крај, граница, ивица“).^[6]

Две врсте трапеза је увео Прокло (412. до 485. године) у свом коментару на прву књигу Еуклидових елемената:^[4]^[7]

један пар паралелних страница – трапез (τραπέζιον), подељен на једнакокраке (једнаке ноге) и скалене (неједнаке) трапезе
нема паралелних страница – трапезоид (τραπεζοειδή, trapezoeidé, дословно налик трапезу (εἶδος значи „наликује“), на исти начин као што кубоидни значи коцкасти, а ромбоидни значи попут ромба)

Сви европски језици прате Проклову структуру^[7]^[8] као и енглески до касног 18. века, све док утицајни математички речник који је објавио Чарлс Хатон 1795. није подржао без објашњења транспозицију термина. Ова грешка је исправљена на британском енглеском око 1875. године, али је задржана у америчком енглеском до данашњег дана.^[4]

Тип	Оригинална терминологија			Савремена терминологија
	Еуклид (Дефиниција 22)	Прокло (Дефиниције 30-34, цитирајући Посидонија)	Еуклид / Проклова дефиниција	Британски енглески (и европски језици)	Амерички енглески
Паралелограм	ῥόμβος (ромбови)		једнакостранични, али не правоугли	Ромб		Трапезоид (инклузивно)
Паралелограм	ῥομβοειδὲς (ромбоиди)		супротне стране и углови једнаки су једни другима, али не једнакостранични нити правоугли ромбоид	Ромбоид (колоквијално паралелограм)
Непараллелограм	τραπέζια (трапезија)	τραπέζιον ἰσοσκελὲς (трапезион isoskelés)	Две паралелне странице и линија симетрије	Изосилни трапезијум	Изосилни трапезоид
		τραπέζιον σκαληνὸν (трапезион skalinón)	Две паралелне странице, без линије симетрије	Трапезијум	Трапезоид (ексклузивно)
		τραπέζοειδὲς (трапезоиди)	Нема паралелних страница	Трапезоид	Трапезијум

Облик се често назива неправилан четвороугао.^[9]^[10]

Инклузивна наспрам ексклузивне дефиниције уреди

Постоје одређена неслагања да ли паралелограме, који имају два пара паралелних страница, треба сматрати трапезоидима. Неки дефинишу трапез као четвороугао који има само један пар паралелних страница (ексклузивна дефиниција), чиме се искључују паралелограми.^[11] Други^[12] дефинишу трапез као четвороугао са најмање једним паром паралелних страница (инклузивна дефиниција^[13]), чинећи паралелограм посебним типом трапеза. Последња дефиниција је у складу са њеном употребом у вишој математици као што је калкулус. Овај чланак користи инклузивну дефиницију и разматра паралелограме као посебне случајеве трапеза. Ово се заговара и у таксономији четвороуглова.

Посебни случајеви уреди

Посебни случајеви трапеза су:

једнакокраки трапез, код кога су краци једнаки, такође и углови на основици су једнаки
правоугли трапез, код кога је један крак управан на базу, тада је тај крак истовремено и висина
паралелограм, код кога је и други пар страница међусобно паралелан
ромб, који је паралелограм, али су му и све странице међусобно једнаке
правоугаоник, који је паралелограм, али су му и све суседне странице међусобно нормалне
квадрат, коме су све странице међусобно једнаке, а суседне међусобно нормалне

Услов постојања уреди

Четири дужине a, c, b, d могу чинити узастопне странице непаралелограмског трапеза са a и b паралелним само када^[14]

\displaystyle |d-c|<|b-a|<d+c.

Четвороугао је паралелограм када је $d-c=b-a=0$ , али је екстангенцијални четвороугао (који није трапез) када је $|d-c|=|b-a|\neq 0$ .^[15]^{‍:p. 35}

Карактеризације уреди

Општи трапезоид/трапез:
паралелне странице:

a,\,b

са

a<b

ноге:

c,\,d

дијагонале:

q,\,p

средњи сегмент:

m

висина/алтитуда:

h

Трапезоид/трапез са супротним троугловима

S,\,T

формираним од дијагонала

За дати конвексни четвороугао, следећа својства су еквивалентна, а свако имплицира да је четвороугао трапезоид:

Има два суседна угла која су суплементарна, односно сабирају до 180 степени.
Угао између странице и дијагонале једнак је углу између супротне стране и исте дијагонале.
Дијагонале секу једна другу у међусобно истом односу (овај однос је исти као и између дужина паралелних страница).
Дијагонале секу четвороугао на четири троугла од којих један супротни пар има једнаке површине.^[15]^‍:Prop.5
Производ површина два троугла које формира једна дијагонала једнак је производу површина два троугла која формира друга дијагонала.^[15]^‍:Thm.6
Површине S и T неких од два супротна троугла међу четири троугла формирана дијагоналама задовољавају једначину

{\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},

где је K површина четвороугла.^[15]^‍:Thm.8

Средина две супротне стране и пресек дијагонала су колинеарни.^[15]^‍:Thm.15
Углови у четвороуглу ABCD задовољавају $\sin A\sin C=\sin B\sin D.$ ^[15]^{‍:p. 25}
Косинуси два суседна угла су 0, као и косинуси друга два угла.^[15]^‍:Thm.15
Котангенси два суседна угла су збир 0, као и котангенси друга два суседна угла.^[15]^{‍:p. 26}
Један бимедијан дели четвороугао на два четвороугла једнаких површина.^[15]^{‍:p. 26}
Двострука дужина бимедијана која повезује средине две супротне стране једнака је збиру дужина других страница.^[15]^{‍:p. 31}

Поред тога, следећа својства су еквивалентна и свако имплицира да су супротне стране a и b паралелне:

Узастопне странице a, c, b, d и дијагонале p, q задовољавају једначину^[15]^‍:Cor.11

p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.

Растојање v између средина дијагонала задовољава једначину^[15]^‍:Thm.12

v={\frac {|a-b|}{2}}.

Формуле уреди

Обим	$O=a+b+c+d\,$
Висина	$h=b\sin {\beta }=d\sin {\alpha }\,$ $h\,=\,{\frac {2}{a-c}}{\sqrt {s(s-(a-c))(s-b)(s-d)}},\;s\,=\,{\frac {a+c+b+d}{2}}$
Површина	$P\,=\,{\frac {a+b}{2}}\cdot h$
Дијагонале	$d_{1}\,=\,{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \beta }}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2\,c\,d\,\cos \delta }}$ $d_{2}\,=\,{\sqrt {a^{2}+d^{2}-2\,a\,d\,\cos \alpha }}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \gamma }}$

Једнакокраки трапез уреди

Код једнакокраког трапеза важи да је b = d, такође је α = β одакле следи δ = γ. Последица овога је да је збир наспрамних углова α + γ = β + δ = 180°. Ово је особина тетивних четвороуглова, значи једнакокраки трапез је тетивни четвороугао.

Правоугли трапез уреди

Код правоуглог трапеза је b или d једнако h, а такође важи да је α = δ = 90° ili β = γ = 90°.

Референце уреди

^ „Trapezoid — Math Word Definition”. Math Open Reference. Приступљено 9. 9. 2018.
^ A. D. Gardiner & C. J. Bradley, Plane Euclidean Geometry: Theory and Problems, UKMT, 2005, p. 34.
^ „Types of quadrilaterals”. Basic-mathematics.com. Приступљено 2018-09-09.
^ ^а ^б ^в James A. H. Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. X. Clarendon Press at Oxford. стр. 286 (Trapezium). „With Euclid (c 300 B.C.) τραπέζιον included all quadrilateral figures except the square, rectangle, rhombus, and rhomboid; into the varieties of trapezia he did not enter. But Proclus, who wrote Commentaries on the First Book of Euclid's Elements A.D. 450, retained the name τραπέζιον only for quadrilaterals having two sides parallel, subdividing these into the τραπέζιον ἰσοσκελὲς, isosceles trapezium, having the two non-parallel sides (and the angles at their bases) equal, and σκαληνὸν τραπέζιον, scalene trapezium, in which these sides and angles are unequal. For quadrilaterals having no sides parallel, Proclus introduced the name τραπέζοειδὲς TRAPEZOID. This nomenclature is retained in all the continental languages, and was universal in England till late in the 18th century, when the application of the terms was transposed, so that the figure which Proclus and modern geometers of other nations call specifically a trapezium (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio) became with most English writers a trapezoid, and the trapezoid of Proclus and other nations a trapezium. This changed sense of trapezoid is given in Hutton's Mathematical Dictionary, 1795, as ‘sometimes’ used -- he does not say by whom; but he himself unfortunately adopted and used it, and his Dictionary was doubtless the chief agent in its diffusion. Some geometers however continued to use the terms in their original senses, and since c 1875 this is the prevalent use.”
^ Euclid Elements Book I Definition 22
^ πέζα is said to be the Doric and Arcadic form of πούς "foot", but recorded only in the sense "instep [of a human foot]", whence the meaning "edge, border". τράπεζα "table" is Homeric. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα, τράπεζα.
^ ^а ^б Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5. 4. 2016). The Symmetries of Things. CRC Press. стр. 286. ISBN 978-1-4398-6489-0.
^ For example: French trapèze, Italian trapezio, Portuguese trapézio, Spanish trapecio, German Trapez, Ukrainian "трапеція", e.g. „Larousse definition for trapézoïde”.
^ Chambers 21st Century Dictionary Trapezoid
^ „1913 American definition of trapezium”. Merriam-Webster Online Dictionary. Приступљено 2007-12-10.
^ „American School definition from "math.com"”. Приступљено 2008-04-14.
^ Weisstein, Eric W. „Trapezoid”. MathWorld.
^ Trapezoids, [1]. Retrieved 2012-02-24.
^ Ask Dr. Math (2008), "Area of Trapezoid Given Only the Side Lengths".
^ ^а ^б ^в ^г ^д ^ђ ^е ^ж ^з ^и ^ј ^к Martin Josefsson, "Characterizations of trapezoids", Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.

Литература уреди

D. Fraivert, A. Sigler and M. Stupel : Common properties of trapezoids and convex quadrilaterals
„Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Приступљено 2020-09-02.
Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9
„Archived copy” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 14. 5. 2014. г. Приступљено 20. 6. 2013.
Keady, G.; Scales, P.; Németh, S. Z. (2004). „Watt Linkages and Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 88 (513): 475—492. S2CID 125102050. doi:10.1017/S0025557200176107.
Jobbings, A. K. (1997). „Quadric Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 81 (491): 220—224. JSTOR 3619199. doi:10.2307/3619199.
Beauregard, R. A. (2009). „Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides”. College Mathematics Journal. 40 (1): 17—21. S2CID 122206817. doi:10.1080/07468342.2009.11922331.
Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. стр. 429—430. ISBN 978-1-4419-3145-0.
Josefsson, Martin (2013), „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF), Forum Geometricorum, 13: 17—21
Josefsson, Martin (2011), „The Area of a Bicentric Quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 11: 155—164
Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). „An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral” (PDF). International Journal of Geometry. 7: 81—86.

Спољашње везе уреди

Trapezium at Encyclopedia of Mathematics.
Weisstein, Eric W. „Right trapezoid”. MathWorld.
Trapezoid definition Area of a trapezoid Median of a trapezoid With interactive animations
Trapezoid (North America) at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
Trapezoidal Rule on Numerical Methods for Stem Undergraduate
Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008)

[1] „Trapezoid — Math Word Definition”. Math Open Reference. Приступљено 9. 9. 2018.

[2] A. D. Gardiner & C. J. Bradley, Plane Euclidean Geometry: Theory and Problems, UKMT, 2005, p. 34.

[3] „Types of quadrilaterals”. Basic-mathematics.com. Приступљено 2018-09-09.

[oed-4] а ^б ^в James A. H. Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. X. Clarendon Press at Oxford. стр. 286 (Trapezium). „With Euclid (c 300 B.C.) τραπέζιον included all quadrilateral figures except the square, rectangle, rhombus, and rhomboid; into the varieties of trapezia he did not enter. But Proclus, who wrote Commentaries on the First Book of Euclid's Elements A.D. 450, retained the name τραπέζιον only for quadrilaterals having two sides parallel, subdividing these into the τραπέζιον ἰσοσκελὲς, isosceles trapezium, having the two non-parallel sides (and the angles at their bases) equal, and σκαληνὸν τραπέζιον, scalene trapezium, in which these sides and angles are unequal. For quadrilaterals having no sides parallel, Proclus introduced the name τραπέζοειδὲς TRAPEZOID. This nomenclature is retained in all the continental languages, and was universal in England till late in the 18th century, when the application of the terms was transposed, so that the figure which Proclus and modern geometers of other nations call specifically a trapezium (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio) became with most English writers a trapezoid, and the trapezoid of Proclus and other nations a trapezium. This changed sense of trapezoid is given in Hutton's Mathematical Dictionary, 1795, as ‘sometimes’ used -- he does not say by whom; but he himself unfortunately adopted and used it, and his Dictionary was doubtless the chief agent in its diffusion. Some geometers however continued to use the terms in their original senses, and since c 1875 this is the prevalent use.”

[5] Euclid Elements Book I Definition 22

[6] πέζα is said to be the Doric and Arcadic form of πούς "foot", but recorded only in the sense "instep [of a human foot]", whence the meaning "edge, border". τράπεζα "table" is Homeric. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα, τράπεζα.

[ConwayBurgiel2016-7] а ^б Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5. 4. 2016). The Symmetries of Things. CRC Press. стр. 286. ISBN 978-1-4398-6489-0.

[8] For example: French trapèze, Italian trapezio, Portuguese trapézio, Spanish trapecio, German Trapez, Ukrainian "трапеція", e.g. „Larousse definition for trapézoïde”.

[9] Chambers 21st Century Dictionary Trapezoid

[10] „1913 American definition of trapezium”. Merriam-Webster Online Dictionary. Приступљено 2007-12-10.

[11] „American School definition from "math.com"”. Приступљено 2008-04-14.

[Mathworld-12] Weisstein, Eric W. „Trapezoid”. MathWorld.

[13] Trapezoids, [1]. Retrieved 2012-02-24.

[14] Ask Dr. Math (2008), "Area of Trapezoid Given Only the Side Lengths".

[Josefsson-15] а ^б ^в ^г ^д ^ђ ^е ^ж ^з ^и ^ј ^к Martin Josefsson, "Characterizations of trapezoids", Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]