−1

У математици, −1 је адитивно инверзна вредност од 1. Другим речима, то је број који кад се дода на 1 даје елемент адитивне идентичности, 0. Он је негативни цео број већи од негативне двојке (−2) и мањи од 0.

← −2 −1 0 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → Списак бројева — Цели бројеви ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Кардинални број	−1, минус један, негативно један
Редни број	−1. (минус прво)
Арапски	−١
Кинески број	负一，负弌，负壹
Бенгалски	−১
Бинарни (бајт)	С&M: 1000000012 2сЦ: 111111112
Хекс (бајт)	С&M: 0x10116 2сЦ: 0xФФ16

−1

Негативна јединица је повезана са Ојлеровим идентитетом јер је e^iπ = −1.

У развоју софтвера, −1 се често користи као иницијална вредност за целе бројеве и да би се показало да променљива не садржи корисне информације.

Негативно један има нека слична, али мало другачија својства као позитивне јединице.

Алгебарска својства

Множење броја са −1 је еквивалентно са променом знака броја. То се може доказати користећи закон дистрибутивности и аксиом да је 1 мултипликативни идентитет: за x које је реални број важи

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

где се користи чињеница да је свако реално x пута нула 0 једнако 0, што произилази из једначине путем поништавања

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

0, 1, −1, i, и −i у комплексној или картезијанској равни

Другим речима,

$x+(-1)\cdot x=0\,$

тако да је (−1) · x, или −x, аритметичка инверзија од x.

Квадрат од −1

Квадрат од −1, тј. −1 помножено са −1, једнако је 1. Консеквентно, производ два негативна реална броја је позитиван.

За алгебарски доказ овог резултата, може се започети једначином

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

Прва једнакост произилази из горњег резултата. Друга следи из дефиниције −1 као адитивна инверзна вредност од 1: управо тај број када се дода на 1 даје 0. Сада, користећи закон дистрибуције, може се видети да

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

Друга једнакост следи из чињенице да је 1 мултипликативни идентитет. Међутим, сада додавање 1 на обе стране ове последње једначине подразумева

$(-1)\cdot (-1)=1$

Горњи аргументи важе за било који прстен, концепт апстрактне алгебре којим се генерализују цели бројеви и реални бројеви.

Квадратни корен од −1

Иако нема реалних квадратних корена од −1, комплексни број i задовољава i² = −1, и као такав се може сматрати квадратним кореном од −1. Једини други комплексни број чији је квадрат −1 је −i. У алгебри кватерниона, која садржи комплексну раван, једначина x² = −1 има бесконачно много решења.

Експоненцијација до негативних целих бројева

Експоненцијација ненултог реалног броја се може проширити на негативне целе бројеве. Према дефиницији x⁻¹ = 1/x, значи да подизање броја на −1 степен има исти ефекат као израчунавање његове реципрочне вредности. Ова дефиниција се затим проширује на негативне целе бројеве, очувавајући експоненцијални закон x^ax^b = x^{(a + b)} за реалне бројеве a и b.

Експоненцијација на негативне целе бројеве се може проширити до инвертабилних елемената прстена, путем дефинисања x⁻¹ као мултипликативне инверзне вредности од x.

−1 које се јавља поред функција или матрица не означава њихово подизање на степен −1, већ њихове инверзне функције или инверзне матрице. На пример, f⁻¹(x) је инверзна функција од f(x), или sin⁻¹(x) је нотација за arcsin функцију.

Рачунарска репрезентација

Главни чланак: Репрезентације бројева са знаком

Већина рачунарских система представља негативне целобројне бројеве користећи комплемент двојке. У таквим системима, −1 је представљен помоћу обрасца битова са свим јединицама. На пример, 8-битни цео број са знаком који користи комплемент двојке представљаће −1 као бинарни низ „11111111” или „FF” у хексадецималном облику (база 16). Ако се протумачи као цео број без знака, иста низ битева од n јединица представља 2ⁿ − 1, највећу могућу вредност коју n битова може да држи. На пример, 8-битни низ „11111111” изнад представља 2⁸ − 1 = 255.

Програмски језици

У неким програмским језицима, када се користи за индексирање неких типова података (као што је низ), −1 се може користити за идентификацију последње (или друге задње) ставке, у зависности да ли 0 или 1 представља прву ставку. Ако је прва ставка индексирана са 0, тада −1 означава задњу ставку. Ако је прва ставка индексирана са 1, тада −1 идентификује предзадњу ставку.

Види још

• Манелаусова теорема

Литература

• Ivan Flores, The Logic of Computer Arithmetic, Prentice-Hall (1963)
• Koren, Israel (2002). Computer Arithmetic Algorithms. A.K. Peters. ISBN 978-1-56881-160-4. 
• GE-625 / 635 Programming Reference Manual. General Electric. januar 1966. Pristupljeno 15. 8. 2013. 
• Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer’s Manual (PDF). Intel. Section 4.2.1. Pristupljeno 6. 8. 2013. 
• Power ISA Version 2.07. Power.org. Section 1.4. Arhivirano iz originala 9. 1. 2014. g. Pristupljeno 6. 8. 2013. 
• Finch, Steven (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81805-6. 
• May, Robert (1976). Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers. ISBN 978-0-632-00768-4. 
• Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. ISBN 978-0-387-97993-9. 
• Crease, Robert P. (10. 5. 2004), "The greatest equations ever", Physics World [неопходна регистрација]
• Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-328-3. 
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E., & Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998). e: The Story of a number. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05854-2. 
• Nahin, Paul J. (2006). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2. 
• Paulos, John Allen (1992). Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0-14-014574-8. 
• Reid, Constance (разна издања), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
• Sandifer, C. Edward (2007). Euler's Greatest Hits. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-563-8. 
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books 
• Wells, David (1990). „Are these the most beautiful?”. The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37—41. doi:10.1007/BF03024015. 
• Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press 
• Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150 , PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068 
• Chris Brink; Wolfram Kahl; Gunther Schmidt (1997). Relational Methods in Computer Science. Springer. str. 4. ISBN 978-3-211-82971-4. 
• Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups. Kluwer Academic Publishers. str. 62 and 67. ISBN 978-1-4613-0267-4. 
• Eric C.R. Hehner (1993). A Practical Theory of Programming. Springer Science & Business Media. str. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5. 
• Conway, John H., & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer, ISBN 978-0-387-97993-9
• Crease, Robert P. (10. 5. 2004), "The greatest equations ever", Physics World [неопходна регистрација]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-328-3
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E., & Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press, ISBN 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11822-2
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books, ISBN 0-14-014574-5
• Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-563-8
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books 
• Wells, David (1990). „Are these the most beautiful?”. The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37—41. doi:10.1007/BF03024015. 
• Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-192-51406-6 
• Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150 , PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068  

Спољашње везе

• Protocol Buffers: Signed Integers (језик: енглески)
• Margherita Barile. „Additive Inverse”. MathWorld.