U matematici, −1 je aditivno inverzna vrednost od 1.[1] Drugim rečima, to je broj koji kad se doda na 1 daje element aditivne identičnosti, 0. On je negativni ceo broj veći od negativne dvojke (−2) i manji od 0.

← −2 −1 0 →
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kardinalni broj−1, minus jedan, negativno jedan
Redni broj−1. (negative first)
Arapski١
Kineski broj负一,负弌,负壹
Bengalski
Binarni (bajt)
S&M: 1000000012
2sC: 111111112
Heks (bajt)
S&M: 0x10116
2sC: 0xFF16

Negativna jedinica je povezana sa Ojlerovim identitetom jer je eiπ = −1.[2]

U razvoju softvera, −1 se često koristi kao inicijalna vrednost za cele brojeve i da bi se pokazalo da promenljiva ne sadrži korisne informacije.

Negativno jedan ima neka slična, ali malo drugačija svojstva kao pozitivne jedinice.[3]

Algebarska svojstvaУреди

Množenje broja sa −1 je ekvivalentno sa promenom znaka broja. To se može dokazati koristeći zakon distributivnosti i aksiom da je 1 multiplikativni identitet: za x koje je realni broj važi

 

gde se koristi činjenica da je svako realno x puta nula 0 jednako 0, što proizilazi iz jednačine putem poništavanja

 
 
0, 1, −1, i, i −i u kompleksnoj ili kartezijanskoj ravni

Drugim rečima,

 

tako da je (−1) · x, ili −x, aritmetička inverzija od x.

Kvadrat od −1Уреди

Kvadrat od −1, i.e. −1 pomnoženo sa −1, jednako je 1. Konsekventno, proizvod dva negativna realna broja je pozitivan.

Za algebarski dokaz ovog rezultata, može se započeti sa jednačinom

 

Prva jednakost proizilazi iz gornjeg rezultata. Druga sledi iz definicije -1 kao aditivna inverzna vrednost od 1: upravo taj broj kada se doda na 1 daje 0. Sada, koristeći zakon distribucije, može se videti da

 

Druga jednakost sledi iz činjenicae da je 1 multiplikativni identitet. Međutim sada dodavanje 1 na obe strane ove poslednje jednačine podrazumeva

 

Gornji argumenti važe za bilo koji prsten, koncept apstraktne algebre kojim se generalizuju celi brojevi i realni brojevi.

Kvadratni koren od −1Уреди

Iako nema realnih kvadratnih korena od -1, kompleksni broj i zadovoljava i2 = −1, i kao takav se može smatrati kvadratnim korenom od −1. Jedini drugi kompleksni broj čiji je kvadrat −1 je −i.[4] U algebri kvaterniona, koja sadrži kompleksnu ravan, jednačina x2 = −1 ima beskonačno mnogo rešenja.

Exponencijacija do negativnih celih brojevaУреди

Eksponencijacija nenultog realnog broja se može proširiti na negativne cele brojeve. Prema definiciji x−1 = 1/x, znači da podizanje broja na −1 stepen ima isti efekat kao izračunavanje njegove recipročne vrednosti. Ova definicija se zatim proširuje na negativne cele brojeve, očuvavajući eksponencijalni zakon xaxb = x(a + b) za realne brojeve a i b.

Eksponencijacija na negativne cele brojeve se može proširiti do invertabilnih elemenata prstena, putem definisanja x−1 kao multiplikativne inverzne vrednosti od x.

−1 koje se javlja pored funkcija ili matrica ne označava njihovo podizanje na stepen −1, već njihove inverzne funkcije ili inverzne matrice. Na primer, f−1(x) je inverzna funkcija od f(x), ili sin−1(x) je notacija za arcsin funkciju.

Računarska reprezentacijaУреди

Većina računarskih sistema predstavlja negativne celobrojne brojeve koristeći komplement dvojke. U takvim sistemima, −1 je predstavljen pomoću obrasca bitova sa svim jedinicama. Na primer, 8-bitni ceo broj sa znakom koji koristi komplement dvojke predstavljaće -1 kao binarni niz „11111111” ili „FF” u heksadecimalnom obliku (baza 16). Ako se protumači kao ceo broj bez znaka, ista niz biteva od n jedinica predstavlja 2n − 1, najveću moguću vrednost koju n bitova može da drži. Na primer, 8-bitni niz „11111111” iznat predstavlja 28 − 1 = 255.

Programski jeziciУреди

U nekim programskim jezicima, kada se koristi za indeksiranje nekih tipova podataka (kao što je niz), -1 se može koristiti za identifikaciju poslednje (ili druge zadnje) stavke, u zavisnosti da li 0 ili 1 predstavlja prvu stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 0, tada -1 označava zadnju stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 1, tada −1 identifikuje predzadnju stavku.

Vidi jošУреди

ReferenceУреди

  1. ^ Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra (5th изд.), Cengage Learning, стр. 40, ISBN 9781133710790 
  2. ^ Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Приступљено 7. 9. 2018. 
  3. ^ Mathematical analysis and applications By Jayant V. Deshpande. ISBN 978-1-84265-189-6.
  4. ^ „Ask Dr. Math”. Math Forum. Приступљено 14. 10. 2012. 

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди