Peanove aksiome

U matematičkoj logici, Peano aksiomi takođe poznati kao Dedekind-Peano aksiomi ili Peano postulati, su aksiomi za prirodne brojeve koje je u 19 veku izdao Đuzepe Peano, italijanski matematičar. Ovi aksiomi su se koristili nepromenjeni u brojevima matematičkih istraživanja, uključujući istraživanje fundamentalnih pitanja da li je teorija brojeva konzistentna i potpuna.

Potreba da se formalizuje aritmetika nije dobro cenjena sve do rada Herman Grasmana koji je pokazao 1860. da mnoge činjenice u aritmetici mogu da se izvedu iz više osnovnih činjenica o operaciji uspešnosti i indukciji. Godine 1881, Čarls Sanders Pers obezbedio je aksiomatizaciju prirodnih brojeva aritmetike. 1888. Dedekind je predložio još jednu Aksiomatizaciju prirodnih brojeva aritmetike, i 1889. godine, Peano objavljuje preciznije formulisanu verziju od njih kao skup aksioma u svojoj knjizi, Principi aritmetike predstavljeni uz pomoć nove metode (latinski: Arithmetices principia, nova methodo exposita). 

Peano aksiomi sadrže tri vrste izjava. Prvi aksiom tvrdi postojanje najmanje jednog člana niza prirodnih brojeva. Sledeće četiri su opšte izjave o ravnopravnosti; u modernim tretmanima oni se često ne uzimaju kao deo Peano aksioma, već kao aksioma "logike". Naredne tri aksiome su prvog reda izjave o prirodnim brojevima koje izražavaju osnovne osobine operacije naslednika. Deveti, konačni aksiom je druga izjava reda principa matematičke indukcije tokom prirodnih brojeva. Slabiji sistem prvog reda se zove Peano aritmetika i dobija se eksplicitnim sabiranjem i množenjem operativnih simbola i zamenom indukcionih aksioma drugog reda sa prvim redom aksiome šeme. 

Formulacija

Kada je Peano formulisao njegove aksiome, jezik matematičke logike bio je u ranom detinjstvu. Sistem logičkih notacija je napravljen da prezentuje aksiome što se nije pokazalo popularnim, iako je bila moderna notacija za skup članstva (∈, koji dolazi od Peanove ε) i implikacija (⊃, koja dolazi od obrnutog 'C'.) Peano uvodi jasnu razliku između matematičkih i logičkih simbola, što tada nije bilo često u matematici; takvo razdvajanje je prvi put uvedeno u časopisu ''Begriffsschrift'' od strane Gotloba Fregea, izdatog 1879. Peano je bio svestan rada Frega i nezavisno je ponovio svoj logički aparat zasnovan na radu Džordža Bula i Ernsta Šredera.

Peanovi aksiomi definišu aritmetička svojstva prirodnih brojeva, najčešće predstavljena kao skup N ili $\mathbb {N} .$ Potpis ( ne-logički simboli formalnog jezika) za aksiome uključuju stalan simbol 0 i unarni simbol S.

Konstanta nula, se ispostavila da jeste broj

1. O je prirodan broj

U naredne četiri aksiome opisuje se relacija jednakosti. Pošto su logično važeći u prvom redu logike sa jednakostima, oni se ne smatraju kao deo "Peanovih aksioma" u modernim tretmanima.

2. Za svaki prirodan broj h, h=x. Ta jednakost je refleksivna
3. Za svaki prirodan broj x i y, ako je x=y, onda je y=x. Ta jednakost je simetrična
4. Za svaki prirodan broj x,y i z ako je x=y i y=z i x=z. Onda je jednakost prelazna
5. Za sve a i b ako je b prirodan broj a a=b i a je prirodan broj. Onda su prirodni brojevi zatvoreni u nejednakosti

Preostale aksiome definišu aritmetička svojstva prirodnih brojeva. Prirodni se pretpostavlja da budu zatvoreni pod jednom vrednošću "naslednika" funkcije S.

6. Za svaki prirodan broj n, S(n) je prirodan broj

Peanova prvobitna formulacija aksioma koristi 1 umesto o za "prvi" prirodan broj. Ovaj izbor je proizvoljan, pošto aksiom 1 ne dodeljuje broju 0 nikakva dodatna svojstva. Međutim, pošto je 0 aditivni identitet u aritmetici, većina modernih formulacije Peanovih aksioma počinju od 0. Aksiome 1 i 6 definišu unarnu operaciju prirodnih brojeva: broj 1 može biti definisan kao S(0), 2 kao S(S(0)) (što je isto S(1)), i uopšte bilo koji prirodan broj n kao rezultat n-struke primene S na 0. Naredna dva aksioma definišu osobine ovog predstavljanja.

7. Za sve prirodne brojevi m i n, m=n ako je i samo ako S(m)=S(n). S je injekcija
8. Za svaki prirodan broj n,S(n)=0 je netačno ako nema nijednog broja čiji je naslednik 0

Lanac lakih domina, počevši od najbliže, može predstavljati N, međutim, aksiomi 1-8 su takođe zadovoljeni skup svih, svetlih i tamnih, domina. Deveti aksiom ograničava lanac svetlih komada po indukciji tako da jedno svetlo domina će pasti kada se najbliže sruši.

Aksiomi 1, 6, 7 i 8 znače da skup prirodnih brojeva sadrži različite elemente 0, S(0), S(S(0)), i dalje da {0, S(0), S(S(0)), …} ⊆ N. Ovo pokazuje da je skup prirodnih brojeva beskonačan. Međutim, da bi pokazali da N = {0, S(0), S(S(0)), …}, mora biti pokazano da N ⊆ {0, S(0), S(S(0)), …}; mora biti pokazano da svaki prirodan broj je sadržan u {0, S(0), S(S(0)), …}. Da bi se to uradilo, zahteva se dodatni aksiom, koji se ponekad naziva aksiom indukcije. Ovaj aksiom obezbeđuje metod za rasuđivanje o skupu svih prirodnih brojeva 

9. Ako je K skup takav da:
   • 0 je u K i
   • za svaki prirodan broj n, ako n je u K, onda S(n) je u K,
   onda K sadrži svaki prirodan broj.

Indukovan aksiom se ponekad navodi u sledećem obliku: |9=Ako φ je unarni predikat takav da:

• φ(0) je tačno, i
• za svaki prirodan broj n, ako φ(n) je tačno, onda φ(S(n)) je tačno,

onda φ(n) je tačno za svaki prirodan broj n. }}

U originalnoj formulaciji Peana, indukcioni aksiom je aksiom drugog reda. Sada je uobičajeno zameniti ovaj princip drugog reda sa slabijom šemom indukcije prvog reda. Postoje značajne razlike između drugog reda i prvog reda formulacije, kao što je rečeno u odeljku Modeli ispod. 

Aritmetika

Peano aksiomi se mogu povećati sa operacijama sabiranja i množenja i uobičajenom sumom (linearnom) redosledom N. Odgovarajuće funkcije i odnosi se grade u drugom redu logike, i pokazalo se da je jedinstveno koristeći Peano aksiome. 

Sabiranje

Sabiranje je funkcija koja spaja dva prirodna broja (dva elementa N) jedan se dodaje na drugi. Definisano je kao rekurzivno:

Na primer,

a + 1 = a + S(0) = S(a + 0) = S(a).

Struktura (N, +) je komutativna semigrupa sa elementom 0. (N, +) je takođe opozivna magma, i takvo ugrađena u grupi. Najmanja grupa ugrađivanja  N su Ceo broj.

Množenje

Slično, množenje je funkcija koja množi dva cela broja jedan sa drugim. Kao dodatak može se definisati rekurzivno:

Lako se vidi da postavljanje b jednako 0 daje multiplikacioni identitet: 

a · 1 = a · S(0) = a + (a · 0) = a + 0 = a

Osim toga, množenje distribuira preko toga: 

a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Ovo, (N, +, 0, ·, 1) je komutativni prsten

Nejednakosti

Obično korišćenje pravila relacije ≤ na prirodne brojeve može biti definisano kao sledeće, uključujući 0 kao prirodan broj.

Za svako a, b ∈ N, a ≤ b ako i samo ako postoji neko c ∈ N takvo da a + c = b.

Ova relacija je stabilna za sabiranje i množenje: za $a,b,c\in N$, ako a ≤ b, onda:

• a + c ≤ b + c, i
• a · c ≤ b · c.

Struktura (N, +, ·, 1, 0, ≤) je određen prsten jer ne postoji broj između 0 i 1.

Aksiom indukcije ponekad ima jaku formu praveći ≤ red:

Za bilo koji iskaz φ, ako

• φ(0) je tačno i
• za svako n, k ∈ N, ako k ≤ n implicira φ(k) je tačno, onda φ(S(n)) je tačno,

onda za svako n ∈ N, φ(n) je tačno.

Ova forma aksiome indukcije je jednostavna kosenkvencija standardne formulacije, ali često više odgovara za rasuđivanje ≤ reda. Na primer, da pokaže da su prirodni borjevi dobro određeni—svaki neprazni podskup N ima najmanji element. Neka neprazni X ⊆ N bude dat i  pretpostavljen da X nema najmanji element.

• Zato što je 0 poslednji element N, mora biti 0 ∉ X.
• Za bilo koji n ∈ N, pretpostavljajući za svako k ≤ n, k ∉ X. Onda S(n) ∉ X, u drugom slučaju bi bio poslednji element X.

Ovo, uz pomoć jakih principa indukcije, za svako  n ∈ N, n ∉ X. Ovo, X ∩ N = ∅, što je suprotno X koji je podskup neprazni N. Tako X ima najmanji element.

Prvi red teorije aritmetike

Svi Peamovi aksiomi osim devetog sučinjenica prvog reda logike. Aritmetičke operacije sa sabiranjem i množenjem i relacije redova mogubiti definisane koristeći aksiomu prvog reda. Aksioma indukcije je drugog reda, ali može biti transformisana u prvi red aksiome šeme indukcije. Takva šema uključuje jedan aksiom po prediktu definisan u prvom redu jezika Peano aritmetike, praveći je slabijim od aksiome drugog reda.

Aksinomizacija prvog reda Peanove aritmetike imaju bitnu ograničenost. Međutim u drugom redu logike, moguće je definisati sabiranje i mnozenje operacija od naslednika operacija ali ovo ne može biti urađeno u restriktivnijim postavljanjima prvog reda logike  Tako sad sabiranje i množenje su direktno povezane sa potpisom Peanove aritmetike, i aksiomi su uključeni da odnose tri operacije jednu ka drugoj.

Sledća lista aksioma, koja sadrži 6 od 7 aksioma Robinsonove aritmetike, je dovoljna za ovu svrhu 

• ∀x∈N. 0 ≠ S(x)
• ∀x,y∈N. S(x) = S(y) ⇒ x = y
• ∀x∈N. x + 0 = x
• ∀x,y∈N. x + S(y) = S(x + y)
• ∀x∈N. x ⋅ 0 = 0
• ∀x,y∈N. x ⋅ S(y) = x ⋅ y + x

Kao dodatak ovoj listi brojčanih aksioma, Peano aritmetika sadrži šemu indukcije, koja se sastoji od prebrojivo mnogo skupova aksioma. Za svaku formulu φ(x,y₁,...,y_k) u jeziku Peano aritmetike, prvi red aksiome indukcije za φ je rečenica.

$\forall {\bar {y}}(\varphi (0,{\bar {y}})\land \forall x(\varphi (x,{\bar {y}})\Rightarrow \varphi (S(x),{\bar {y}}))\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar {y}}))$

gde je ${\bar {y}}$ skraćenica za y₁,...,y_k. Prvi red induckijske šeme uključuje svaki primer prvog reda indukcijskog aksioma, koji uključuje aksiomu indukcije za svaku formulu φ.

Ekvivalent aksiomizacije

Ima mnogo različitih, ili ekvivalentnih aksomizacija Peanove aritmetike. Dok neke aksiomizacije, kao što je opisano, koriste potpis koji koristi simbole za 0 kao naslednik, dodatak, je množenje, druge aksiomizacije koriste jezike određenih poluprstena, uključujući i dodatak određenom relacijom simbola. Aksiomizacija počinje sa praćenjem aksioma koji opisuju diskretne određene poluprstenove

1. $\forall x,y,z\in N$. $(x+y)+z=x+(y+z)$, dodatak je asocijativan.
2. $\forall x,y\in N$. $x+y=y+x$, dodatak je komutativan.
3. $\forall x,y,z\in N$. $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$, množenje je asocijativno.
4. $\forall x,y\in N$. $x\cdot y=y\cdot x$, množenje je komutativno.
5. $\forall x,y,z\in N$. $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$, distributivni zakon.
6. $\forall x\in N$. $x+0=x\land x\cdot 0=0$, nula je identitet elementa za sabiranje.
7. $\forall x\in N$. $x\cdot 1=x$,  jedan je identitet elementa za množenje.
8. $\forall x,y,z\in N$. $x<y\land y<z\Rightarrow x<z$,  '<' operacija je tranzitivna.
9. $\forall x\in N$. $\neg (x<x)$,  '<' operacija je irefleksivna.
10. $\forall x,y\in N$. $x<y\lor x=y\lor y<x$.
11. $\forall x,y,z\in N$. $x<y\Rightarrow x+z<y+z$.
12. $\forall x,y,z\in N$. $0<z\land x<y\Rightarrow x\cdot z<y\cdot z$.
13. $\forall x,y\in Nx<y\Rightarrow \exists z\in Nx+z=y$.
14. $0<1\land \forall x\in N$. $x>0\Rightarrow x\geq 1$.
15. $\forall x\in N$. $x\geq 0$.

Teorija je definisana sa ovim aksiomima i poznata je kao PA- : PA je dobijena dodavanjem indukcijske šeme prvog reda.

Bitna osobina PA⁻ je da bilo koja struktura M zadovoljava teoriju koja ima početni segment (određen sa ≤) izomorfni na N. Elementi M\N su poznati kao nestandardni elementi.

Modeli

Model Peano aritmetike je trodupla (N, 0, S), gde N je (nužno beskonačan) skup, 0 ∈ N i S : N → N zadovoljava aksiome iznad. Dedekind je dokazao u njegovoj knjizi 1888k, Šta su brojevi i šta bi trebalo da budu (nem: Was sind und was sollen die Zahlen) da bilo koja dva modela Peano aksioma (uključujući drugi red aksiome indukcije) su izomorfna. Praktično, data dva modela (N_A, 0_A, S_A) i (N_B, 0_B, S_B) Peano aksioma, postoji jedinstveni homomorfizam f : N_A → N_B koji zadovoljava

${\begin{aligned}f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n))&=S_{B}(f(n))\end{aligned}}$

i to je bijekcija. To znači da drugi red Peano aksioma je kategorički. Ovo nije slučaj sa bilo kojim prvim redom reformulacije Peano aksioma.

Nestandardni modeli

Iako uobičajeni prirodni brojevi zadovoljavaju aksiome PA, postoje i drugi nestandardni modeli, kao što; Kompaktnost teorema podrazumeva  da postojanje nestandardnih elemenata ne može isključeno u prvom redu logike. Naviše Lovenhajm-Skolem teorema pokazuje da postoje nestandardni modeli PA svih beskonačnih kardinalnosti. Ovo nije slučaj za originalne (drugog reda) Peano aksioma, koje imaju samo jedan model, do izomorfizma. To ilustruje jedan način na koji je prvog reda sistema PA slabiji od drugog reda Peano aksioma.

Kada se tumači kao dokaz u okviru prvog reda teorije skupova, kao što ZFC, Dedekind je kategorisao dokaz za PA pokazujući da svaki model teorije skupova ima jedinstven model na Peano aksiomima, do izomorfizma, koji ugrađuje kao inicijalni segment sve druge modele PA sadržane u tom modelu teorije skupova. U standardnom modelu teorije skupova, ovaj najmanji model PA je standardni model PA; međutim, u nestandardnom modelu teorije skupova, to može biti nenstandardni model PA. Ova situacija ne može da se izbegne sa bilo kojim prvim redom formalizacije teorije skupova . 

Prirodno je da se pitamo da li brojivi nestandardni modeli mogu biti eksplicitno izgrađeni. Odgovor je potvrdan, kao što je Skolem 1933. godine eksplicitno izgradio takav nestandardni model. S druge strane, Tenenbaumova teorema, dokazala je 1959. godine, da ne postoji prebrojiv nestandardni model PA u kojoj ni sabiranje ni množenje nisu prebrojivi. brojivih nestandardnih modela PA. Međutim, postoji samo jedan mogući tip reda brojivog nestandarnog modela. Neka ω bude red tipa prirodnih borjeva, ζ bude red tipa celih brojeva, i η bude red tima racionalnih brojeva, red tipa bilo kojeg brojivog nestandardnog modela PA je ω + ζ·η, koji može biti vizuelisan kao kopija prirodnih brojeva praćena sa linearnim određenjem kopije celih brojeva.

Teoretski modeli skupa

Peano aksiomi se mogu izvesti iz postavljenih teorijskih konstrukcija prirodnih brojeva i aksioma teorije skupova, kao što je ZF.  Standardna konstrukcija prirodnih brojeva, prema fon Nojmanu, počinje od definicija 0 kao praznog skupa, ∅, i operatora s na skupovima definisag kao:

s(a) = a ∪ { a }.

Skup prirodnih brojeva N je definisan kao presek svih skupova zatvorenih ispod s koji sadrži prazan skup. Svaki prirodan broj je ekvivalentan (kao skup) skupu prirodnih brojeva manje nego:

${\begin{aligned}0&=\emptyset \\1&=s(0)=s(\emptyset )=\emptyset \cup \{\emptyset \}=\{\emptyset \}=\{0\}\\2&=s(1)=s(\{0\})=\{0\}\cup \{\{0\}\}=\{0,\{0\}\}=\{0,1\}\\3&=...=\{0,1,2\}\end{aligned}}$

i tako dalje. Skup N zajedno sa 0 i fukcija naslednik s : N → N zadovoljava Peano aksiome.

Peano aritmetika je ekokonzistencija sa nekoliko slabih sistema teorije skupa. Jedan takav sistem je ZFK sa aksiomom beskonačnosti zamenjen sa svojom negacijom. Još jedan takav sistem se sastoji od opšte teorije skupova (ekstencionalnosti, postojanje praznog skupa, i aksiom adjunkcije), uvećane za aksiom šeme navodeći da je imovina koja važi za prazan skup i koja važi za adjunkciju mora da važi za sve skupove.

Interpretacija u kategoriji teorije

Peano aksiomi mogu takođe shvaćeni korišćenjem teorije kategorije. Neka C bude kategorija sa terminalnim objektom 1_C, i definiše kategoriju tačkastog unarnog sistema, US₁(C) kao sledeće::

• Objekti US₁(C) su tripleti (X, 0_X, S_X) gde X je objekat C, i 0_X : 1_C → X i S_X : X → X su C-morfizmi.
• Morfizam φ : (X, 0_X, S_X) → (Y, 0_Y, S_Y) je C-morfizam φ : X → Y sa φ 0_X = 0_Y i φ S_X = S_Y φ.

Onda C je rečeno da zadovolji Dedekind-Peano aksiome ako US₁(C) ima početni objekat; ovaj početni objekat je poznat kao objekat prirodnog broja u C. Ako (N, 0, S) je početni objekat, i (X, 0_X, S_X) je bilo koji drugi objekat, onda je jedistveno spajanje u : (N, 0, S) → (X, 0_X, S_X) takvo da

${\begin{aligned}u0&=0_{X},\\u(Sx)&=S_{X}(ux).\end{aligned}}$

Ovo je upravo rekurzivna definicija 0_X i S_X.

Doslednost

Kada su Peanovi aksiomi prvo predloženi, Bertrand Rusel i ostali su se složili da su ovi aksiomi implicitno definisani sa onim na šta mislimo kad kažemo "prirodni broj". Anri Poenkare je bio stoga oprezniji i rekao je da se prirodni brojevi definišu samo ako su u skladu, ako postoji dokaz koji počinje iz ovih aksioma i koji vodi ka kontradikciji  0 = 1 , onda su aksiomi nedosledni, i ne mogu definisati ništa. 1900 godine, David Hilbert postavlja problem dokazivanja njihove doslednosti koristeći samo metode finitizma kao drugi svojih dvadeset i tri problema. 1931, Kurt Gedel dokazao je svoju drugu nepotpunu teoremu, koja pokazuje da takva konzistentnost dokaz ne može biti formalizovan u Peano aritmetici. 

Iako je široko tvrde da Godel teorema isključuje mogućnost finitistizacije doslednosti dokaza za Peano aritmetike, to zavisi od toga šta se podrazumeva od strane finitizma. Gedel sam ukazuje na mogućnost davanja finitizma konzistencije dokaza Peano aritmetike ili jačim sistemima pomoću finitizma metoda koje nisu formalizovane u Peano aritmetici, i 1958. godine, Gedel je objavio metod za dokazivanje doslednosti aritmetike pomoću teorije tipa. 1936 godine, Gerhard Gencen dao je dokaz konzistencije Peano aksioma koristeći transfint indukciju zvanu ε0. Gencen je objasnio: "Cilj ovog rada je da se dokaže konzistentnost osnovne teorije brojeva, odnosno da se smanji pitanje doslednosti određenih fundamentalnih principa". Gencenov dokaz je verovatno finitizam, od  ε₀ mogu biti kodirane u smislu konačnih objekata (na primer, kao Tjuringova mašina koja opisuje pogodne redoslede na celim brojevima, ili više apstraktno koja se sastoji od ograničenih drveća, pogodno linearno određenih). 

Ogromna većina savremenih matematičara veruje da Peano aksiomi su u skladu, oslanjajući se na intuiciju ili prihvatanje konzistencije kao dokaz da je takav Gencen dokaz. Mali broj matematičara koji se zalažu ultrafinitizmu odbacujući Peano aksiome, jer aksiomi zahtevaju beskonačan niz prirodnih brojeva. 

Vidi još

• Fondacije matematike
• Godstajnova teorema
• Pariz-Haringova teorema
• Presburgova aritmetika
• Robinsova aritmetiks
• Drugi red aritmetike
• Nestandardni model aritmetike
• Teoretski skup definicija prirodnih brojeva
• Frejgova teorema

Literatura

• Martin Davis, 1974. Computability. Notes by Barry Jacobs. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University.
• Richard Dedekind (1888). Was sind und was sollen die Zahlen? (What are and what should the numbers be?) (PDF). Vieweg. Retrieved 31 October 2013.. Two English translations:
  • 1963 (1901). Essays on the Theory of Numbers. Beman, W. W., ed. and trans. Dover.
  • 1996. In From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols, Ewald, William B., ed. Oxford University Press: 787–832.
• Gentzen, G., 1936, Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112: 132–213. Reprinted in English translation in his 1969 Collected works, M. E. Szabo, ed. Amsterdam: North-Holland.
• Gödel, Kurt (1931). „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”. Monatshefte für Mathematik und Physik. 38-38: 173—198. S2CID 197663120. doi:10.1007/bf01700692. . See On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems for details on English translations.
• --------, 1958, "Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes," Dialectica 12: 280–87. Reprinted in English translation in 1990. Gödel's Collected Works, Vol II. Solomon Feferman et al., eds. . Oxford University Press. 
• Hermann Grassmann (1861). Lehrbuch der Arithmetik (A tutorial in arithmetic) Arhivirano na sajtu Wayback Machine (3. новембар 2013) (PDF). Enslin.
• Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon. Derives the Peano axioms (called S) from several axiomatic set theories and from category theory.
• Kaye, Richard (1991). Models of Peano arithmetic. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853213-2. ..
• David Hilbert,1901, "Mathematische Probleme". Archiv der Mathematik und Physik 3(1): 44–63, 213–37. English translation by Maby Winton, 1902, "Mathematical Problems," Bulletin of the American Mathematical Society 8: 437–79.
• Mendelson, Elliott, 1997. Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall.
• Peirce, C. S. (1881). „On the Logic of Number”. American Journal of Mathematics. 4 (1): 85—95. JSTOR 2369151. doi:10.2307/2369151. 
• Paul Shields. (1997), "Peirce's Axiomatization of Arithmetic", in Houser et al., eds., Studies in the Logic of Charles S. Peirce.
• Hazewinkel, Michiel, ур. (2001). Peano axioms, Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Suppes, Patrick (1960). Axiomatic Set Theory. Dover. ISBN 978-0-486-61630-8. 
• Alfred Tarski, and Givant, Steven, 1987. A Formalization of Set Theory without Variables. AMS Colloquium Publications, vol. 41.
• Edmund Landau, 1965 Grundlagen Der Analysis. AMS Chelsea Publishing. Derives the basic number systems from the Peano axioms. English/German vocabulary included. ISBN 978-0-8284-0141-8.
• Partee, Barbara; Ter Meulen, Alice; Wall, Robert (2012). Mathematical Methods in Linguistics. Springer. 
• van Heijenoort, Jean (1976) [1967]. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 (3rd izd.). Cambridge, Mass: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-32449-7. 
• Harsanyi, John C. (1983). "Mathematics, the empirical facts and logical necessity". Erkenntniss 19: 167 ff.
  • Richard Dedekind, 1890, "Letter to Keferstein." pp. 98–103. On pp. 100, he restates and defends his axioms of 1888.
  • Giuseppe Peano, 1889. Arithmetices principia, nova methodo exposita (The principles of arithmetic, presented by a new method). p. 83–97. An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations.

Spoljašnje veze

• Internet Encyclopedia of Philosophy: "Henri Poincaré Arhivirano na sajtu Wayback Machine (2. februar 2004)" by Mauro Murzi. Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.
• First-order arithmetic, a chapter of a book on the incompleteness theorems by Karl Podnieks.
• Peano arithmetic at PlanetMath.org.
• Weisstein, Eric W., "Peano's Axioms", MathWorld.
• What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind commentary on Dedekind's work, Stanley N. Burris, 2001.