Ugao

Ugao je deo ravni oivičen sa dve poluprave koje imaju zajednički početak.^[1] Ugao zatvaraju dve poluprave a i b (zraci) koje ishode iz jedne tačke T. Poluprave koje zatvaraju ugao nazivaju se kracima ugla, a tačka iz koje ishode je njegovo teme. Kada kraci ugla čine jednu pravu, ugao se naziva ispruženim ili ravnim. Uglovi formirani od dva zraka koji leže u ravni, ali ta ravan ne mora da bude Euklidska ravan. Uglovi se isto tako formiraju ukrštanjem dve ravni u Euklidovom i drugim prostorima. Oni se nazivaju diedarskim uglovima.^[2] Uglovi koji se formiraju presecanjem dve krive u ravni su definisani kao uglovi određeni tangentnim zracima u tački preseka. Slične izjave važe u prostoru, na primer, sferni ugao^[3] formiran pomoću dve velike kružnice na sferi je diedarski ugao između ravni određenih velikim kružnicama.

Ugao se isto tako koristi za označavanje mere ugla ili rotacije.^[4] Ova mera je odnos dužine kružnog luka i njegovog radijusa. U slučaju geometrijskog ugla, luk se centriran u tački i ograničen na stranama. U slučaju rotacije, luk se centriran u središtu rotacije i ograničen bilo kojom tačkom i njenim rotacionim preslikavanjem.

Euklid definiše ravanski ugao kao međusobni nagib dve linije u ravni koje se susreću, tj. ne leže paralelno jedna drugoj. Prema Proklu ugao mora biti bilo kvalitet ili količina, ili odnos.^[5] Prvi koncept je koristio Eudem, koji je posmatrao ugao kao odstupanje od prave linije^[6]^[7]; drugi je koristio Karp iz Antiohija, koji je smatrao ugao intervalom ili prostorom između linija koje se presecaju^[8]; dok je Euklid prihvatio treći koncept, mada su njegove definicije pravog, oštrih i tupih uglova svakako kvantitativne.^[9]^[10]

Tipovi uglova

Vrste uglova

Oštar ugao je manji od pravog ugla (ima manje od 90 stepeni)

Prav ugao je jednak (kongruentan) svom suplementnom uglu. Prav ugao iznosi 90° (stepeni), tj. ${\frac {\pi }{2}}$ (radijana). Prave nosioci krakova pravog ugla nazivaju se normalne prave.

Tup ugao veći od pravog ugla i manji od opruženog ugla.(ima više od 90 stepeni i manje od 180 stepeni)

Opružen ugao je ugao čiji kraci obrazuju pravu. (ima 180° (stepeni), tj. $\pi \,$ (radijana)).

Konveksan ugao je ime kojim se označavaju oštar, prav, tup i ispružen ugao, mada u suštini je i pun i nul ugao konveksan.

Konkavan ugao veći od ispruženog i manji od punog ugla.

Kao granični slučaj uvode se i Pun ugao kod kojeg se kraci poklapaju i unutrašnja oblast sa kracima pokriva celu ravan, ima 360° (stepeni), tj. $2\pi \,$ (radijana). i Nula ugao kod kojeg se kraci poklapaju i unutrašnja oblast je prazan skup. Nul ugao je veličine 0° (stepeni), tj. 0 (radijana).

Imena, intervali i merne jedinice su prikazane u sledećoj tabeli:

Prav ugao

Oštar (a), tup (b), i opružen (c) ugao. Oštri i tupi uglovi su isto tako poznati kao kosi uglovi.

Konkavni ugao (nekonveksni ugao)

Units	Interval
Ime	oštar	prav ugao	tup	opruženi	refleks	perigon
Obrta	(0, 1/4)	1/4	(1/4, 1/2)	1/2	(1/2, 1)	1
Radijana	(0, 1/2 $π$ )	1/2 $π$	(1/2 $π$ , $π$ )	$π$	( $π$ , 2 $π$ )	2 $π$
Stepeni	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
Gradi	(0, 100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

Vrste parova uglova

Susedna su dva ugla koja imaju zajednički krak, i jedan ima unutrašnju oblast sa jedne a drugi sa druge strane zajedničkog kraka.

Naporedna ili uporedna su dva susedna ugla koja se dopunjavaju do ispruženog.

Suplementna su dva ugla (ne moraju biti susedna) koja se dopunjavaju do ispruženog.

Komplementni uglovi su oni koji se dopunjavaju do pravog ugla.

Uglovi sa paralelnim kracima su dva ugla čiji kraci leže na paralelnim pravama. Uglovi sa paralelnim kracima su jednaki, ako su oba oštra ili oba tupa ili oba prava ugla, inače se dopunjavaju do ispruženog. Uglovi sa paralelnim kracima mogu biti:

Saglasni uglovi (Paralelni kraci imaju isto usmerenje. Ovi uglovi su jednaki.)

Naizmenični uglovi (Paralelni kraci imaju suprotno usmerenje. Ovi uglovi su jednaki.)

Unakrsni uglovi su specijalan slučaj naizmeničnih uglova, kada im se vrhovi poklapaju

Suprotni uglovi (Jedan par paralelnih krakova ima isto usmerenje, a drugi par imaju suprotno usmerenje. Ovi uglovi su suplementni.)

Uglovi sa normalnim kracima su dva ugla čiji kraci leže na normalnim pravama. Ovi uglovi ili su jednaki ili su suplementni.

U Euklidskoj geometriji, komplementni su oštri uglovi pravouglog trougla.

Uglovi koji nastaju presekom dve prave u istoj ravni trećom nazivaju se:

Saglasni: 1 i 5, 2 i 6, 3 i 7, 4 i 8;
Naizmenični:1 i 7, 2 i 8, 3 i 5, 4 i 6;
Suprotni: 1 i 8, 2 i 7, 3 i 6, 4 i 5;
Naporedni: 1 i 2, 2 i 3, 3 i 4, 4 i 1.

Primer uglova u preseku pravih

Osobine uglova

Uglovi sa paralelnim kracima: Neka su $\alpha$ i $\beta$ dva konveksna ugla neke ravni sa paralelnim kracima.

U ovom slučaju (slučaj 2.) uglovi su suplementni.

Tada:

Ako su oba ugla oštra, ili oba tupa, oni su međusobno jednaki;
Ako je jedan ugao oštar, a drugi tup, oni su suplementni (tj. zbir uglova u trouglu je 180°)

Uglovi sa normalnim kracima: Neka su $pOq$ i $p'Oq'$ dva konveksna ugla neke ravni sa kracima takvim da je $p\perp p'$ i $q\perp q'$ .

Normalni ugao

Tada:

Ako su oba ugla oštra, ili oba tupa, oni su međusobno jednaki;
Ako je jedan ugao oštar, a drugi tup, oni su suplementni

Ekvivalentni parovi uglova

Za uglove koji imaju istu meru (tj. jednaku magnitudu) se kaže da su jednaki ili kongruentni (podudarni). Ugao se definiše svojom merom i ne zavisio og dužine strana ugla (npr. svi pravi uglovi su jednake veličine).
Dva ugla koja dele terminalne strane, ali se razlikuju po veličini za celobrojni umnožak zaokreta se zovu koterminalni uglovi.
Referentni ugao je oštra verzija bilo kog ugla određenog ponovljenim oduzimanjem ili dodavanjem ravnog ugla (1/2 zaokreta, 180°, ili $π$ radijana), do rezultata po potrebi, sve dok veličina rezultata nije oštar ugao, vrednost između 0 i 1/4 zaokreta, 90°, ili $π$ /2 radijana. Na primer, ugao od 30 stepeni ima referentni ugao od 30 stepeni, i ugao od 150 stepeni isto tako ima referentni ugao od 30 stepeni (180–150). Ugao od 750 stepeni ima referentni ugao od 30 stepeni (750–720).^[11]

Vertikalni i susedni parovi uglova

Uglovi A i B su par vertikalnih uglova; uglovi C i D su par vertikalnih uglova.

Kad se dve prave linije presecaju u tački, formiraju se četiri ugla. Parovi ovih uglova se imenuju prema njihovoj lokaciji relativno jedni prema drugima.

Par uglova koji su nasuprot jedan drugog, koje formiraju dve presecajuće prave linije se nazivaju vertikalni uglovi ili suprotni uglovi ili vertikalno suprotni uglovi. Oni se skraćeno obeležavaju sa vert. sup. ∠s.^[12]

Jednakost vertikalno suprotnih uglova se naziva teoremom vertikalnih uglova. Evdem od Rodosa je pripisao dokaz Talesu iz Mileta.^[13]^[14] Predlogom je pokazano da pošto su oba vertikalna ugla suplementarna sa oba susedna ugla, vertikalni uglovi su jednake veličine. Prema jednoj istorijskoj napomeni,^[14] kad je Tales posetio Egipat, on je uočio da kad god bi Egipćani nacrtali presecajuće linije, oni bi izmerili vertikalne uglove kako bi bili sigurni da su jednaki. Tales je izveo zaključak da se može dokazati da su svi vertikalni uglovi jednaki, ako se prihvate neki opšti pojmovi kao što su: svi ispruženi uglovi su jednaki, jednaki dodati jednakim su jednaki, i jednaki oduzeti od jednakih je jednaki.

Na slici, može se uzeti da je mera ugla A = x. Kad dva susedna ugla formiraju pravu liniju, oni su suplementarni. Stoga je mera ugla C = 180 − x. Slično tome, mera ugla D = 180 − x. Oba ugla C i D imaju mere koje su jednake 180 − x i oni su kongruentni. Pošto je ugao B suplementaran uglovima C i D, bilo koji od tih uglova se može koristiti za određivanje ugla B. Koristeći bilo meru ugla C ili ugla D nalazi se da je mera ugla B = 180 − (180 − x) = 180 − 180 + x = x. Stoga, oba ugla, A i B imaju meru koja je jednaka sa x i jednake su mere.

Uglovi A i B su susedni.

Susedni uglovi, koji se često označavaju sa sus. ∠s, su uglovi koji imaju zajedničko teme i jednu stranu, ali ne dele bilo koju unutrašnju tačku. Drugim rečima, oni su uglovi koji su jedan pored drugog, ili susedni tako da dele jednu „ruku”. Susedni uglovi čija je suma prav ugao, prava linija ili pun ugao su specijalni i respektivno se nazivaju: komplementarni, suplementarni i eksplementarni uglovi (pogledajte sekciju „Kombinovanje parova uglova” ispod).

Transverzala je linija koja preseca par (obično paralelnih) linija i asocirana je sa naizmeničnim unutrašnjim uglovima, korespondirajućim uglovima, unutrašnjim uglovima, i spoljašnjim uglovima.^[15]

Kombinovanje parova uglova

Komplementarni uglovi a i b (b je komplementarno sa a, i a je komplementarno sa b).

Postoje tri specijalna para uglova u smislu sumiranja uglova:

Komplementarni uglovi su parovi uglova čija suma je prav ugao (1/4 zaokreta, 90°, ili $π$ /2 radijana). Ako su dva komplementarna ugla susedna njihove strane koje nisu zajedničke formiraju prav ugao. U Euklidskoj geometriji, dva oštra ugla u pravouglom trouglu su komplementarna, jer je suma unutrašnjih uglova trougla 180 stepeni, a sam prav ugao ima devedeset stepeni.

Pridev komplementaran potiče iz latinske reči complementum, koja je povezana sa pridevom complere, „popuniti”. Jedan oštar ugao se „popunjava” svojim komplementom i formira prav ugao.

Razlika izmeću ugla i pravog ugla se naziva komplementom ugla.^[16]

Ako su uglovi A i B komplementarni, sledeća relacija važi:

{\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}

(Tangens ugla jednak je kotangensu njegovog komplementa i njegov sekant jednak je kosekantu njegovog komplementa.)

Prefiks "ko-" u imenima dela trigonometrijskih odnosa se odnosi na reč „komplementarnost”.

Uglovi a i b su suplementarni uglovi.

Dva ugla čiji zbir je ispružen ugao (1/2 zaokreta, 180°, ili $π$ radijana) se nazivaju suplementarnim uglovima.

Ako su dva suplementarna ugla susedna (tj. imaju zajedničko teme i dele jednu stranu), njihove strane koje nisu zajedničke formiraju pravu liniju. Takvi uglovi se nazivaju linearnim parom uglova.^[17] Međutim, suplementarni uglovi ne moraju da budu istoj liniji, i mogu da budu razdvojeni u prostoru. Na primer, susedni uglovi paralelograma su suplementarni, i suprotni uglovi tetivnog četvorougla (takvog da sva njegova temena leže na jednoj kružnici) su suplementarni.

Ako je tačka P izvan kružnice sa centrom O, i ako tangentne linije od P dodiruju kružnicu u tačkama T i Q, onda su ∠TPQ i ∠TOQ suplementarni uglovi.

Sinusi suplementarnih uglova su jednaki. Njihovi kosinusi i tangente (osim ako su nedefinisani) imaju jednake magnitude ali su suprotnog znaka.

U Euklidskoj geometriji, svaka suma dva ugla u trouglu je suplementarna trećem uglu, jer je suma unutrašnjih uglova trougla ispruženi ugao.

Suma dva eksplementarna ugla je kompletan ugao.

Dva ugla čija je suma kompletan ugao (1 obrtaj, 360°, ili 2 $π$ radijana) se nazivaju eksplementarnim uglovima ili konjugovanim uglovima.
Razlika između ugla i kompletnog ugla se naziva eksplementom ugla ili konjugatom ugla.

Uglovi poligona

Unutrašnji i spoljašnji uglovi.

Ugao koji je deo jednostavnog poligona se naziva unutrašnjim uglom ako leži na unutrašnjosti jednostavnog poligona. Jednostavni konkavni poligon^[18]^[19]^[20] ima bar jedan unutrašnji ugao koji je refleksni ugao.
U Euklidovoj geometriji, zbir unutrašnjih uglova trougla je $π$ radijana, 180°, ili 1/2 zaokreta; zbir unutrašnjih uglova jednostavnog konveksnog četvorougla je 2 $π$ radijana, 360°, ili 1 zaokret. Generalno, zbir unutrašnjih uglova jednostavnog konveksnog mnogougla sa n strana jednak je (n − 2) $π$ radijana, ili 180(n − 2) stepeni, (2n − 4) pravih uglova, ili (n/2 − 1) zaokreta.
Dopuna unutrašnjeg ugla se naziva spoljašnjim uglom, drugim rečima, unutrašnji i spoljašnji ugao formiraju linearni par uglova. Postoje dva spoljašnja ugla u svakom temenu mnogougla, svaki od kojih je određen produžavanjem jedne od dve strane mnogougla koje se sastaju u temenu; ta dva ugla su vertikalni uglovi i stoga su jednaki. Spoljašnji ugao meri količinu rotacije koju bi trebalo napraviti u temenu da se ono poravna.^[21] Ako je korespondirajući unutrašnji ugao refleksni, spoljašnji ugao se treba smatrati negativnim. Čak i u mnogouglu koji nije jednostavan može da bude moguće da se definiše spoljašnji ugao, ali se mora odabrati orijentacija ravni (ili površine) da bi se odredio znak mere spoljašnjeg ugla.^[22]^[23]
U Euklidovoj geometriji, suma spoljašnjih uglova jednostavnog konveksnog mnogougla je jedan pun zaokret (360°). Spoljašnji ugao se ovde može zvati dopunjavajućim spoljašnjim uglom. Spoljašnji uglovi se često koriste u Logo grafici kornjače prilikom crtanja regularnih poligona.
U trouglu, simetrale dva spoljašnja ugla i simetrala naspramnog unutrašnjeg ugla su saglasni (sastaju se u jednoj tački).^[24]^{‍:p. 149}
Neki autori koriste naziv spoljašnji ugao jednostavnog mnogougla da jednostavno znači eksplementni (dopuna do 360°) spoljašnji ugao, (ne suplement!) unutrašnjeg ugla.^[25] To nije u skladu sa gornjom upotrebom.

Merenje ugla

Mera ugla je veličina otklona između krakova ugla. Radi merenja ugla se koristi krug čiji je centar u temenu ugla. S obzirom da je obim kruga srazmeran poluprečniku to je i mera ugla nezavisna od veličine poluprečnika. Posledica činjenice da je veličina ugla odnos dve dužine je da je jedinica veličine ugla bezdimenziona.

Broj koji se dobije kao količnik dužine luka kružnice i poluprečnika se naziva radijan. U međunarodnom sistemu mera radijan je izvedena jedinica. Iako je bezdimenziona, oznaka postoji i piše se rad.
Stepen je mera ugla kod koga je pun krug 360 stepeni, a sledstveno tome opruženi ugao je 180 stepeni, a prav ugao je 90 stepeni. Oznaka za stepen je mali kružić nadpisan kod veličine, recimo za pun krug 360°. Za preciznija merenja se koristi deo stepena, naziva se minut i on iznosi 1/60 od stepena. Oznaka za minut je apostrof znak, recimo za 1 stepen je 60'. Postoji još manja mera, sekunda. Sekunda je 1/60 od minuta, odnosno 1/3600 od stepena. Oznaka za sekundu je dvostruki apostrof, odnosno 1 minut je 60".

Odnos između osnovnih jedinica mere ugla

2\pi \,{\mbox{rad}}=360^{o}

, pun krug je dva pi radijana ili 360 stepeni

\pi \,{\mbox{rad}}=180^{o}

, pi radijana je 180 stepeni (često se rad izostavlja kada je pi u izrazu)

{\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=90^{o}

, pi pola radijana je 90 stepeni

1\,{\mbox{rad}}={\frac {180^{o}}{\pi }}\approx 57^{o}17'45''\,

, jedan radijan je 180 kroz pi stepeni, ili približno 57 stepeni, 17 minuta i 45 sekundi

Euklidove definicije

U Euklidovim Elementima knjiga I je dato nekoliko definicija:

Definicija 8: Ugao u ravni je otklon jedne linije ka drugoj u ravni koje se seku i ne leže u liniji.

Definicija 9: Kada su linije koje čine ugao prave i ugao je pravolinijski.

Definicija 10: Kada prava linija seče pravu liniju čineći jednake susedne uglove, svaki od uglova je prav ugao, a linija koja seče drugu se zove normalna na onu koju seče.

Definicija 11: Tup ugao je ugao veći od pravog ugla.

Definicija 12: Oštar ugao je ugao manji od pravog ugla.

Reference

^ Sidorov 2001
^ „Angle Between Two Planes”. TutorVista.com. Arhivirano iz originala 28. 10. 2020. g. Pristupljeno 06. 07. 2018.
^ Green, Robin Michael (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, str. 3, ISBN 9780521317795
^ Brannon, Rebecca M. (2002). „A review of useful theorems involving proper orthogonal matrices referenced to three-dimensional physical space.” (PDF). Albuquerque: Sandia National Laboratories.
^ Rosan 1981, str. 45–49
^ Leonid Zhmud, The Origin of the History of Science in Classical Antiquity. Berlin, Walter de Gruyter, 2006 (Trans. from Russian by A Chernoglazov)
^ Leonid Zhmud, 'Eudemus’ History of Mathematics', In the Rutgers University Series in the Classical Humanities. V. 11. Ed. by I. Bodnar, W. W. Fortenbaugh. New Brunswick 2002, 263–306
^ Michael Taunton, (2001), Surveying Instruments of Greece and Rome, pages 33–34. Cambridge University Press.
^ Chisholm 1911
^ Heiberg 1908, str. 177–178
^ „Mathwords: Reference Angle”. www.mathwords.com. Arhivirano iz originala 23. 10. 2017. g. Pristupljeno 26. 04. 2018.
^ Wong & Wong 2009, str. 161–163
^ Euclid. The Elements, 300. p. n. e. Proposition I:13.
^ ^a ^b Shute, Shirk & Porter 1960, str. 25–27.
^ Jacobs 1974, str. 255.
^ Chisholm 1911
^ Jacobs 1974, str. 97.
^ McConnell, Jeffrey J. (2006), Computer Graphics: Theory Into Practice, Jones & Bartlett Learning, str. 130, ISBN 978-0-7637-2250-0
^ Leff, Lawrence (2008), Let's Review: Geometry, Hauppauge, NY: Barron's Educational Series, str. 66, ISBN 978-0-7641-4069-3
^ Mason, J.I. (1946), „On the angles of a polygon”, The Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 30 (291): 237—238, JSTOR 3611229, S2CID 125405303, doi:10.2307/3611229
^ Henderson & Taimina 2005, str. 104.
^ Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd izd.), Courier Dover, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045
^ Honsberger, Ross (1995), Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, 37, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007.
^ D. Zwillinger, ur. (1995), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, Boca Raton, FL: CRC Press, str. 270 as cited in Weisstein, Eric W. „Exterior Angle”. MathWorld.

Literatura

Rosan, Laurence (1981). Neoplatonism and Indian Thought (Editor: R Baine Harris). State University of New York Press. str. 45—49. ISBN 978-0873955461.
Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005). Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd izd.). Pearson Prentice Hall. str. 104. ISBN 9780131437487.
Heiberg, Johan Ludvig (1908), Heath, T. L., ur., Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements, 1, Cambridge: Cambridge University Press .
Jacobs, Harold R. (1974). Geometry. W.H. Freeman. str. 97,255. ISBN 978-0-7167-0456-0.
Slocum, Jonathan (2007), Preliminary Indo-European lexicon — Pokorny PIE data, University of Texas research department: linguistics research center, Arhivirano iz originala 27. 06. 2010. g., Pristupljeno 02. 02. 2010
Shute, William G.; Shirk, William W.; Porter, George F. (1960), Plane and Solid Geometry, American Book Company, str. 25—27
Wong, Tak-wah; Wong, Ming-sim (2009). „Angles in Intersecting and Parallel Lines”. New Century Mathematics. 1B (1 izd.). Hong Kong: Oxford University Press. str. 161—163. ISBN 978-0-19-800177-5.
Ovaj članak uključuje tekst iz publikacije koja je sada u javnom vlasništvu: Chisholm, Hugh, ur. (1911), „Angle”, Encyclopædia Britannica (на језику: енглески), 2 (11 изд.), Cambridge University Press, стр. 14
Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] изд.). New York: Dover Publications. стр. 50–62. ISBN 978-0-486-20630-1.
Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon.
Misner, Thorne, and Wheeler (1973). Gravitation. W.H. Freeman.
Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press.
Nagel, E.; Newman, J. R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. University of California Press.
Artmann, Benno (1999) (1999). Euclid: The Creation of Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98423-0. .
Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
Douglass, Charlene (2007). Page, John D., ур. „Euclid”. Math Open Reference.
Heath, Thomas L. (1908). „Euclid and the Traditions About Him”. Ур.: Heath, Thomas L. Euclid, Elements. 1. стр. 1—6. Архивирано из оригинала 27. 01. 2010. г. Приступљено 05. 11. 2018.
Heath, Thomas L. (1981) (1981). A History of Greek Mathematics. 2 Vols. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-24073-2. /. ISBN 978-0-486-24074-9..
Kline, Morris (1980). Mathematics: The Loss of Certainty. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-502754-9. .
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Euclid of Alexandria”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Theon of Alexandria”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
Proclus (1992). A Commentary on the First Book of Euclid's Elements. Prevod: Glenn Raymond Morrow. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7.
Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60255-4.
Van der Waerden, Bartel Leendert; Taisbak, Christian Marinus (30. 10. 2014). „Euclid”. Encyclopædia Britannica. Pristupljeno 21. 11. 2014.
DeLacy, Estelle Allen (1963). Euclid and Geometry. New York: Franklin Watts.
Knorr, Wilbur Richard (1975). The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry. Dordrecht, Holland: D. Reidel. ISBN 978-90-277-0509-9.
Mueller, Ian (1981). Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0-262-13163-6.
Reid, Constance (1963). A Long Way from Euclid. New York: Crowell.
Szabó, Árpád (1978). The Beginnings of Greek Mathematics. A.M. Ungar, trans. Dordrecht, Holland: D. Reidel. ISBN 978-90-277-0819-9.

Spoljašnje veze

[1] Sidorov 2001

[2] „Angle Between Two Planes”. TutorVista.com. Arhivirano iz originala 28. 10. 2020. g. Pristupljeno 06. 07. 2018.

[3] Green, Robin Michael (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, str. 3, ISBN 9780521317795

[4] Brannon, Rebecca M. (2002). „A review of useful theorems involving proper orthogonal matrices referenced to three-dimensional physical space.” (PDF). Albuquerque: Sandia National Laboratories.

[5] Rosan 1981, str. 45–49

[6] Leonid Zhmud, The Origin of the History of Science in Classical Antiquity. Berlin, Walter de Gruyter, 2006 (Trans. from Russian by A Chernoglazov)

[7] Leonid Zhmud, 'Eudemus’ History of Mathematics', In the Rutgers University Series in the Classical Humanities. V. 11. Ed. by I. Bodnar, W. W. Fortenbaugh. New Brunswick 2002, 263–306

[8] Michael Taunton, (2001), Surveying Instruments of Greece and Rome, pages 33–34. Cambridge University Press.

[9] Chisholm 1911

[10] Heiberg 1908, str. 177–178

[11] „Mathwords: Reference Angle”. www.mathwords.com. Arhivirano iz originala 23. 10. 2017. g. Pristupljeno 26. 04. 2018.

[tb-12] Wong & Wong 2009, str. 161–163

[13] Euclid. The Elements, 300. p. n. e. Proposition I:13.

[FOOTNOTEShuteShirkPorter196025–27-14] Shute, Shirk & Porter 1960, str. 25–27.

[FOOTNOTEJacobs1974255-15] Jacobs 1974, str. 255.

[Chisholm_1911-16] Chisholm 1911

[FOOTNOTEJacobs197497-17] Jacobs 1974, str. 97.

[18] McConnell, Jeffrey J. (2006), Computer Graphics: Theory Into Practice, Jones & Bartlett Learning, str. 130, ISBN 978-0-7637-2250-0

[19] Leff, Lawrence (2008), Let's Review: Geometry, Hauppauge, NY: Barron's Educational Series, str. 66, ISBN 978-0-7641-4069-3

[20] Mason, J.I. (1946), „On the angles of a polygon”, The Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 30 (291): 237—238, JSTOR 3611229, S2CID 125405303, doi:10.2307/3611229

[FOOTNOTEHendersonTaimina2005104-21] Henderson & Taimina 2005, str. 104.

[Altshiller-Court-22] Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd izd.), Courier Dover, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045

[23] Honsberger, Ross (1995), Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, 37, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-639-0

[Johnson-24] Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007.

[25] D. Zwillinger, ur. (1995), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, Boca Raton, FL: CRC Press, str. 270 as cited in Weisstein, Eric W. „Exterior Angle”. MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]