Logaritam

U matematici logaritam je funkcija koja određuje eksponent u jednačini bⁿ = x. Logaritam je inverzna funkcija u odnosu na eksponencijalnu. Obično se piše kao log_b x = n. Primer:

Logaritmi različitih osnova: crveni je za osnovu e, zeleni za osnovu 10, a ljubičasti za osnovu 1.7. Logaritmi svih osnova prolaze kroz tačku (1,0).

$$\!\,3^{4}=81\Leftrightarrow \log _{3}81=4$$

Logaritam je jedna od tri vrlo srodne funkcije. Ukoliko imamo bⁿ = x, b može da se odredi korenovanjem, n logaritmovanjem, a x eksponencijalnom funkcijom.

Negativni logaritam se piše kao n = −log_b x; primer njegove upotrebe je u hemiji gde predstavlja koncentraciju vodonika (pH vrednost).

Antilogaritam se koristi da označi funkciju inverznu logaritmu (eksponencijalna funkcija, odnosno stepenovanje). Piše se kao antilog_b(n) i znači isto što i bⁿ.

Dvostruki logaritam je inverzna funkcija dvostruke eksponencijalne funkcije. Super logaritam ili hiper logaritam je inverzna funkcija super eksponencijalne funkcije. Super logaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za veliko x.

Diskretni logaritam se pominje u teoriji konačnih grupa. Veruje se da je za neke konačne grupe diskretni logaritam veoma teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale veoma lako izračunati. Ova asimetrija ima primene u kriptografiji.

Logaritam za bazu 10 (gde je b = 10) zove se opšti algoritam i ima nekoliko primena u nauci i inženjerstvu. Prirodni logaritam ima broj e (≈ 2.718) kao bazu; njegova primena je raširena u matematici i fizici, zbog svog jednostavnijeg izvoda. Binarni logaritam koristi bazu 2 (gde je b = 2) i često se koristi u računarstvu.

Logaritme je uveo Džon Neper početkom 17. veka radi pojednostavljenja proračuna. Oni se uveliko koriste od strane navigatora, naučnika, inženjera i ostalih kako bi se računarski proračuni izvršavali mnogo lakše, koristeći logaritmar i logaritamske tablice. Zamorno višecifreno množenje mogu zameniti tablice s jednostavnim sabiranjem zbog činjenice — veoma važne — da je logaritamski proizvod zapravo zbir logaritama faktora:

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y),\,$

gde su b, x i y svi pozitivni i b ≠ 1. Današnji pojam logaritma dolazi od Leonarda Ojlera, koji je napravio vezu između logaritama i eksponencijalne funkcije u 18. veku.

Logaritamska skala smanjuje širok spektar veličina na manje prostora. Na primjer, decibel je merna jedinica jačine signala snage log-odnosa i amplitude log-odnosa (od kojih je zvučni pritisak čest primer). U hemiji, pH je logaritamska mera za kiselost vodenog rastvora. Logaritmi su uobičajeni u naučnim formulama, te u merama kompleksnosti algoritama i geometrijskih objekata zvanih fraktali. Oni opisuju muzičke intervale, pojavljuju se u formulama brojeći proste brojeve, informišu neke modele u psihofizici, te mogu pomoći u forenzičkom računovodstvu.

Na isti način kako logaritam služi eksponenciji, kompleksni logaritam je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije primenjene na kompleksne brojeve. Diskretni logaritam je naredna varijanta; koristi se u asimetričnoj kriptografiji.

Motivacija i definicija

Ideja logaritama je da obrnu operaciju eksponencijacije, to jeste, stepenovanje broja određenim stepenom. Na primer, treći stepen (ili kocka) od 2 jeste 8, jer je 8 proizvod tri faktora 2:

$2^{3}=2\times 2\times 2=8.\,$

To znači daje logaritam od 8 sa bazom 2 upravo 3, tako da je log₂ 8 = 3.

Eksponencija

Treći stepen nekog broja b jeste proizvod tri faktora od b. Uopštenije, stepenovanjem b na n-ti stepen, gde je n prirodni broj, radi se množenjem n faktora od b. n-ti stepen od b se piše kao bⁿ, tako da je

$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}.$

Eksponencija se može proširiti na b^y, gde je b pozitivni broj i eksponent y je bilo koji realni broj. Na primer, b⁻¹ je recipročan od b, to jeste, 1/b.

Definicija

Logaritam pozitivnog realnog broja x sa bazom b, pozitivni realan broj nejednak sa 1, jeste eksponent kojim b mora biti stepenovan da se dobije x. Drugim rečima, logaritam od x za bazu b je rešenje y za jednačinu

$b^{y}=x.\,$

Logaritam je opisan „log_b(x)“ (čita se „logaritam od x za bazu b“. U jednačini y = log_b(x), vrednost y je odgovor na pitanje „Na koji stepen mora biti b dignut, da bi se dobio x?“. Ovo pitanje može takođe biti upućeno (sa bogatijim odgovorom) za kompleksne brojeve, što je pokazano u sekciji „Kompleksni logaritam“.

Primeri

Na primer, log₂(16) = 4, pošto je 2⁴ = 2 ×2 × 2 × 2 = 16. Logaritmi takođe mogu biti negativni:

$\log _{2}\!\left({\frac {1}{2}}\right)=-1,\,$

pošto je

$2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.$

Treći primer: log₁₀(150) je približno 2.176, što leži između 2 i 3, kao što 150 leži između 10² = 100 i 10³ = 1000. Konačno, za bilo koju bazu b, log_b(b) = 1 i 1=log_b(1) = 0, pošto važi b¹ = b i b⁰ = 1, redom.

Logaritamska i eksponencijalna funkcija: inverzne funkcije

Za svaku osnovu (b u bⁿ), postoji jedna logaritamska i jedna eksponencijalna funkcija; one su inverzne funkcije. Za bⁿ = x:

• Eksponencijalna funkcija određuje x za dato n. Da bi se našlo x, treba b pomnožiti samim sobom n puta.
• Logaritamska funkcija određuje n za dato x. n je onaj broj puta koliko treba podeliti x sa b da bi se dostiglo 1.

Upotreba logaritamske funkcije

Funkcija log_b(x) je definisana kada je x pozitivni realni broj i b pozitivni realni broj različit od 1. Pogledati logaritamske jednačine za nekoliko pravila u vezi logaritamske funkcije. Logaritamska funkcija može biti definisana i za kompleksne argumente. Ovo je objašnjeno na strani prirodnog logaritma.

Za cele brojeve b i x, broj log_b(x) je iracionalan (tj. ne može se izraziti kao razlomak dva cela broja) ako b ili x ima prost faktor koji drugi nema (tj. ako im je najveći zajednički delilac 1, a i b i x su veći od 1). U nekim slučajevima, ovu činjenicu je veoma lako dokazati. Na primer: ako je log₂3 racionalan broj, tada bismo imali log₂3 = n/m za neka dva pozitivna cela broja n i m, iz čega bi važilo 2ⁿ = 3^m. Međutim, poslednja jednačina je nemoguća jer je 2ⁿ paran broj, a 3^m neparan broj.

Nespecificirana osnova

• Matematičari generalno razumeju ili "ln(x)" ili "log(x)" da znači log_e(x), tj. prirodni logaritam, a pišu "log₁₀(x)" samo ako je u pitanju dekadni logaritam.
• Inženjeri, biolozi i još neki pišu samo "ln(x)" ili (ređe) "log_e(x)" kada se misli na prirodni logaritam broja x, a koriste "log(x)" da označe log₁₀(x) ili, u računarstvu, binarni logaritam log₂(x).
• Ponekad se Log(x) (sa velikim slovom L) koristi da označi log₁₀(x) od strane ljudi koji koriste log(x) (sa malim slovom l) da označe log_e(x).
• U većini programskih jezika uključujući i C programski jezik, C++, Pascal, Fortran i BASIC programski jezik, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

Promena osnove

Iako postoji nekoliko korisnih jednačina, najvažnija za upotrebu kalkulatora je naći logaritam sa osnovom različitom u odnosu na onu ugrađenu u sam kalkulator (obično su ugrađene log_e i log₁₀). Da bismo našli logaritam sa osnovom b koristeći neku drugu osnovu k:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}$

Dokaz jednačine za promenu osnove

$b^{\log _{b}(x)}=x\!\,$	po definiciji
$\log _{k}\left(b^{\log _{b}(x)}\right)=\log _{k}(x)$	logaritmujemo obe strane
$\log _{b}(x)\,\log _{k}(b)=\log _{k}(x)$	uprostimo levu stranu jednakosti
$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}\,\!$	podelimo sa logk(b)

Sve ovo ukazuje da su sve logaritamske funkcije (bez obzira na osnovu) slične jedna drugoj.

Upotrebe logaritamske funkcije

Logaritmi su korisni u rešavanju jednačina gde je nepoznat eksponent. Logaritmi imaju prost izvod, tako da se često koriste kao rešenja integrala. Dalje, veliki broj jedinica u nauci se izražava preko logaritama drugih jedinica; pogledati logaritamsku skalu za objašnjenje i listu jedinica.

Lakše računice

Logaritmi prebacuju fokus sa običnih brojeva na eksponente. Dokle god se ista osnova koristi, ovime su neke operacije olakšane:

Operacije sa brojevima	Operacije sa eksponentima	Logaritamski identitet
$\!\,ab$	$\!\,A+B$	$\!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)$
$\!\,a/b$	$\!\,A-B$	$\!\,\log(a/b)=\log(a)-\log(b)$
$\!\,a^{b}$	$\!\,Ab$	$\!\,\log(a^{b})=b\log(a)$
$\!\,{\sqrt[{b}]{a}}$	$\!\,A/b$	$\!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})=\log(a)/b$

Pre upotrebe elektronskih kalkulatora, ovo je činilo teške operacije sa dva broja lakšim. Jednostavno bi našli logaritam oba broja (za množenje i deljenje) ili samo prvog broja (za korenovanje ili gde je jedan broj već eksponent) u logaritamskoj tablici i izvršili prostiju operaciju nad njima.

Matematička analiza

Za izračunavanje izvoda logaritamske funkcije, koristi se sledeća formula

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}$

gde je ln prirodni logaritam, tj. sa osnovom e. Puštajući da b = e:

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)+C$

Može se videti da sledeća formula daje integral logaritamske funkcije

$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Određene baze

Među svim izborima za bazu, tri su posebno česta. To su b = 10, b = e (iracionalna matematička konstanta ≈ 2,71828), i b = 2. U matematičkoj analizi, logaritam za bazu e je raširen zbog svojih određenih analitičkih svojstava objašnjenih ispod. U drugu ruku, algoritmi s bazom 10 su jednostavni za korišćenje za ručne proračune u decimalnom brojnom sistemu:

$\log _{10}(10x)=\log _{10}(10)+\log _{10}(x)=1+\log _{10}(x).\$

Tako, log₁₀(x) je vezan za broj decimalnih brojeva pozitivnog celog broja x: broj brojki je najmanji celi broj striktno veći od log₁₀(x). Na primer, log₁₀(1430) je približno 3,15. Sledeći celi broj je 4, što je broj cifara od 1430. I prirodni logaritam i logaritam za bazu 2 se koriste u informacionoj teoriji, što odgovara upotrebi natu ili bitovima kao osnovnim jedinicama informacije, respektivno. Binarni logaritmi su takođe korišteni u računarstvu, gde je binarni brojni sistem sveprisutan, u muzičkoj teoriji, gde je odnos visine tona dva (oktava) sveprisutan i cent je binarni logaritam (umanjen za 1200) od odnosa između dva susedna jednako smirena tona, te u fotografiji za merenje vrednosti izlaganja.

Sledeća tabela pokazuje česte notacije za logaritme za ove baze i polja gde se koriste. Dosta disciplina piše log(x) umesto log_b(x), kada se izabrana baza može odrediti iz konteksta. Notacija ^blog(x) takođe se pojavljuje. Kolona "ISO notacija" pokazuje preporuke od ISO organizacije, (ISO 31-11).

Baza b	Ime za logb(x)	ISO notacija	Druge notacije	Koristi se u
2	binarni logaritam	lb(x)| ld(x), log(x), lg(x), log2(x)| računarstvo, informaciona teorija, muzička teorija, fotografija
e	prirodni logaritam	ln(x)	log(x) (u matematici i više programskih jezika)| matematika, fizika, hemija, statistika, ekonomija, informaciona teorija, i neka polja inženjerstva|-	10	opšti logaritam	lg(x)	log(x), log10(x) (u inženjerstvu, biologiji, astronomiji)	različita inženjerska polja (pogledati decibel i ostalo ispod), logaritamske tablice, ručni digitron, spektroskopija

Istorija

Glavni članak: Istorija logaritama

Istorija logaritama u Evropi u 17. veku jeste otkriće nove funkcije koja je proširila stvarnost analize iza opsega algebarske metode. Metodu logaritama je objavio Džon Neper 1614. godine, u knjizi s naslovom Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis čudesnog pravila logaritama). Pre Naperovog izuma, postojale su slične tehnike sličnog opsega, kao što su prostafereza ili korištenje tablica progresije, koje je ekstenzivno razvio Jost Birgi oko 1600. godine.

Opšti logaritam broja je indeks onog stepena od deset koji je jednak tom broju. Govoreći o broju koji zahteva mnogo cifara jeste grubi nagovještaj opšteg logaritma, koji je spominjao Arhimed kao „red broja“. Prvi realni logaritmi bile su heurističke metode koje su pretvarale množenje u sabiranje, čime se olakšava brzo računanje. Neke od tih metoda koristile su tablice izvedene iz trigonometrijskih identiteta. Takva metoda se naziva prostafereza.

Izum funkcije sada poznate kao prirodni logaritam počeo je kao pokušaj da se obavi kvadratura pravougaone hiperbole od Greguar de Sen-Vensana, belgijskog Jezuita koji je boravio u Pragu. Arhimed je napisao kvadraturu hiperbole u 3. veku p. n. e., ali kvadratura za hiperbolu izmicala je svim naporima dok Sen-Vensana nije objavio svoje rezultate 1647. godine. Veza koju pruža logaritam između geometrijske progresije u svom argumentu i aritmetičke progresije vrednosti, podstakla je A. A. de Sarasa da napravi vezu između Sen-Vensanove kvadrature i tradicije logaritama u prostaferezi, što je dovelo do pojma „hiperbolni logaritam“, sinonim za prirodni logaritam. Uskoro je nova funkcija prihvaćena od strane naučnika: Hajgensa, Patavija, i Džejmsa Gregorija. Notaciju Log y je uveo Lajbnic 1675. godine, a sledeće godine on ju je povezao sa integralom $\int {\frac {dy}{y}}.$

Logaritamske tablice, logaritamska skala i istorijske primene

Objašnjenje logaritma iz 1797. godine, Enciklopedija Britanika

Pojednostavljenjem teških proračuna, logaritmi su doprinijeli razvoju nauke, naročito astronomije. Bili su značajni za napredak u anketiranje, nebeskoj navigaciji i drugim domenima. Pjer Simon Laplas nazivao je logaritme:

"...divljenja vredno lukavstvo koje, redukovanjem na nekoliko dana rad od nekoliko meseci, umnožava život astronoma, te ga pošteđuje grešaka i gađenja koje uzrokuje dugi proračun."

Ključni alat koji je dopustio praktičnu upotrebu logaritama pre digitrona i računara bile su logaritamske tablice. Prvu takvu tablicu kompajlirao je Henri Brigs 1617. godine, odmah nakon Neperovog izuma. Naknadno, napravljene su tablice sa povećanim opsegom. Ove tablice su listale vrednosti od log_b(x) i b^x za svaki broj x u određenom opsegu, sa određenom preciznošću, za određenu bazu b (često b = 10). Na primer, Brigsova prva tabela sadržavala je opšte logaritme svih celih brojeva u nizu 1–1000, sa preciznošću od 14 cifara. Kako je funkcija f(x) = b^x inverzna funkcija od log_b(x), bila je nazvana antilogaritam. Proizvod i koeficijent od dva pozitivna broja c i d bili su rutinski računati kao suma i razlika njihovih logaritama. Proizvod cd ili koeficijent c/d dolazio je od uzimanja antilogaritma zbira ili razlike, takođe preko iste tabele:

$cd=b^{\log _{b}(c)}\,b^{\log _{b}(d)}=b^{\log _{b}(c)+\log _{b}(d)}\,$

i

${\frac {c}{d}}=cd^{-1}=b^{\log _{b}(c)-\log _{b}(d)}.\,$

Nastavio je 1624. u delu Arithmetica Logarithmica sa tablicom koja je sadržala logaritme svih celih brojeva od 1 do 20.000 i od 90.000 do 100.000 sa tačnošću od četrnaest decimalnih mesta, kao i uvod u kome su teorija i upotreba logaritama u potpunosti razvijeni. Interval od 20.000 do 90.000 je popunio Adrijan Vlaku, holandski računar, ali u njegovoj tablici, koja se pojavila 1628, logaritmi su dati na samo deset decimala.

Kalet je 1795. dao logaritme od 100.000 do 108.000 sa tačnošću do osme decimale. Jedina bitna ekstenzija Vlakuove tablice je dao Sang 1871. čija je tablica imala logaritme svih brojeva do 200.000 na sedam decimala.

Brigs i Vlaku su takođe objavili originalne tablice logaritama trigonometrijskih funkcija.

Pored pomenutih tablica, velika kolekcija pod imenom Tables du Cadastre je konstruisana pod vođstvom Pronija, sa originalnim računicama, pod patronatom francuske republičke vlasti oko 1700. godine. Ovaj rad, koji je sadržao logaritme svih brojeva do 100.000 na devetnaest decimala i brojeva od 100.000 do 200.000 na dvadeset četiri decimale postoji samo u rukopisu u pariskoj opservatoriji.

Današnjim studentima koji imaju mogućnost korišćenja računara i elektronskih kalkulatora, rad koji je uložen u ove tablice je samo mali indikator velike važnosti logaritama.

Algoritam

Da bi se izračunao log_b(x) ukoliko su b i x racionalni brojevi i x ≥ b > 1:

Neka je n₀ najveći ceo broj takav da je b^n₀ ≤ x ili,

$n_{0}=\lfloor \log _{b}(x)\rfloor$

onda

$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{\log _{x/b^{n_{0}}}(b)}}$

Ovaj algoritam rekurzivno primenjen daje verižni razlomak

$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{n_{1}+{\frac {1}{n_{2}+{\frac {1}{n_{3}+\cdots }}}}}}.$

Dati logaritam je za uglavnom iracionalan za većinu ulaznih promenljivih.

Analitička svojstva

Dublje studije logaritama zahtevaju koncept funkcije. Funkcija je pravilo koje, kada mu se da broj, proizvodi neki drugi broj. Primer je funkcija koja proizvodi x-ti stepen od b za bilo koji realan broj x, gde je baza b fiksni broj. Ova se funkcija piše kao

$f(x)=b^{x}.\,$

Logaritamska funkcija

Da bi se opravdala definicija logaritama, potrebno je pokazati da jednačina

$b^{x}=y\,$

ima rešenje x i da je rešenje jedinstveno, pod uslovom da je y pozitivan i da je b pozitivan i različit od 1. Dokaz ovog slučaja zahteva teoremu o srednjoj vrednosti iz elementarnog kalkulusa. Ova teorema drži da neprekidna funkcija koja proizvodi dve vrednosti m i n takođe proizvodi bilo koju vrednost koja leži između m i n. Funkcija je neprekidna ako ne „skače“, tj. ako se njen grafik može nacrtati bez podizanja olovke.

Ovo svojstvo može biti pokazano da važi za funkciju f(x) = b^x. Pošto f uzima proizvoljno velike i proizvoljno male pozitivne vrednosti, bilo koji broj y > 0 leži između f(x₀) i f(x₁) za odgovarajući x₀ and x₁. Stoga, teorema o srednjoj vrednosti osigurava da jednačina f(x) = y ima rešenje. Štaviše, postoji samo jedno rešene za ovu jednačinu, jer je funkcija f strogo rastuća (za b > 1), ili strogo opadajuća (za 0 < b < 1).

Jedinstveno rešenje x je logaritam od y za bazu b, log_b(y). Funkcija koja dodeljuje y svoj logaritam zove se logaritamska funkcija ili logaritmična funkcija (ili samo logaritam).

Funkcija log_b(x) je u suštini okarakterisana formulom proizvoda iznad

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).$

Preciznije, logaritam za svaku bazu b > 1 je samo rastuća funkcija f od pozitivnih realnih brojeva do realnih brojeva koji zadovoljavaju f(b) = 1 i

$f(xy)=f(x)+f(y).$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th izd.). New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. 
• Campbell-Kelly, Martin (2003). The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets. Oxford scholarship online. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850841-0. 
• Roy S. Freedman (2006). Introduction to Financial Technology. Amsterdam: Academic Press. str. 59. ISBN 978-0-12-370478-8. 
• Gullberg, Jan (1997). Mathematics: from the birth of numbers. New York: W. W. Norton & Co. ISBN 978-0-393-04002-9. 
• Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011). The Manual of Photography. Taylor & Francis. str. 228. ISBN 9780240520377. 
• Van der Lubbe, Jan C. A. (1997). Information Theory. Cambridge University Press. str. 3. ISBN 9780521467605. 
• Wegener, Ingo (2005). Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms. Berlin, New York: Springer-Verlag. str. 20. ISBN 978-3-540-21045-0. 
• Downing, Douglas (2003). „17”. Algebra the Easy Way. Barron's Educational Series. Hauppauge, N.Y.: Barron's. str. 275. ISBN 978-0-7641-1972-9. 
• Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009). Basics Of Mathematics. Pune: Technical Publications. ISBN 978-81-8431-755-8. , poglavlje 1

Spoljašnje veze

• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Logarithmic function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Byfleet, Colin, Educational video on logarithms, Pristupljeno 12. 10. 2010