Matematika

Matematika (grč. μαθηματική što znači učenje) je formalna i egzaktna nauka, koja je nastala izučavanjem figura i računanjem s brojevima.

Euklid (držeći šubler), grčki matematičar, 3. vek p. n. e., po zamisli Rafaela na slici Atenska škola.

Iako ne postoji opšteprihvaćena definicija matematike, pod matematikom se u širem smislu podrazumeva da je ona nauka o količini (aritmetika), strukturi (algebra), prostoru (geometrija) i promeni (analiza).

Matematika je nauka koja izučava aksiomatski definisane apstraktne strukture koristeći logiku. Izučavane strukture najčešće potiču iz drugih prirodnih nauka, najčešće fizike, ali neke od struktura su definisane i izučavane radi internih razloga.

Istorijski, matematika se razvila iz potrebe da se obavljanja proračuna u trgovini, vršenje merenja zemljišta i predviđanje astronomskih događaja. Ove tri početne primene matematike se mogu dovesti u vezu sa grubom podelom matematike na izučavanje strukture, prostora i promena.

Izučavanje strukture počinje sa brojevima, u početku sa prirodnim brojevima i celim brojevima. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rešavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture koje generalizuju osobine koje poseduju brojevi. Fizički važan koncept vektora se izučava u linearnoj algebri.

Izučavanje prostora je počelo sa geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširila na neeuklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.

Razumevanje i opisivanje izmena merljivih promenljivih je glavna karakteristika prirodnih nauka, i diferencijalni račun je razvijen u te svrhe. Centralni koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene, i metodi razvijeni pri tome, se izučavaju u diferencijalnim jednačinama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet analize. Zbog matematskih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je skoncentrisana na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.

Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Važna oblast primenjene matematike je verovatnoća i statistika koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanjem a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.

Oblasti proučavanja

Nauka o brojevima

Matematika se bavi proučavanjem brojeva. Njihovim proučavanjem je započeto i proučavanje struktura. Od svih skupova brojeva, najpre su formirani i proučavani prirodni brojevi, a zatim celi brojevi. Formirani su realni brojevi, kao brojeve koji predstavljaju kontinualne veličine. Iz matematičkih razloga uveden je koncept kompleksnih brojeva.

$1,2,3,\ldots \!$	$\ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots \!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
Prirodni brojevi	Celi brojevi	Racionalni brojevi	Realni brojevi	Kompleksni brojevi

Algebra

Glavni članak: Algebra

Matematika se bavi proučavanjem struktura (matematičkih struktura), koje spadaju u granu matematike - algebru.

Algebra obuhvata:

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
kombinatorika	Teorija brojeva	Teorija grupa	Teorija grafova	Teorija nizova	Algebra

Izučavanje struktura je započeto proučavanjem brojeva. Na početku su formirani i proučavani prirodni brojevi i celi brojevi. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rešavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja prvenstveno izučava prstenove i polja, tj. strukture koje generalizuju osobine koje poseduju brojevi. Važan fizički koncept vektora izučava se u linearnoj algebri. Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Geometrija

Glavni članak: Geometrija

Matematika se bavi proučavanjem prostora, koji spada u granu matematike - geometriju.

Geometrija obuhvata:

Geometrija	Trigonometrija	Diferencijalna geometrija	Topologija	Fraktalna geometrija	Teorija mera

Izučavanje prostora je započelo sa geometrijom. Najpre je nastala Euklidska geometrija i trigonometrija u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, koja se kasnije proširila na neeuklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije. Topologija izučava strukture u prostoru i njihove izmene pri neprekidnim preslikavanjima.

Analiza

Glavni članak: Matematička analiza

Matematika se bavi proučavanjem beskonačno malih promena, koje spadaju u granu matematike - matematičku analizu.

Analiza obuhvata:

Analiza	Vektorska analiza	Diferencijalna analiza	Dinamički sistemi	Teorija haosa	Kompleksna analiza

Teorija diferencijalnog računa je razvijena iz potreba prirodnih nauka za razumevanjem i opisivanjem promena koje se izvrše kod merljivih varijabli. Centralni koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene. Metode koje su razvijene za opisivanje i proučavanje ovakvih problema se izučavaju u teoriji diferencijalnih jednačina. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet matematičke analize. Zbog matematičkih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je usmerena na analiziranje n-dimenzionalnih prostora funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.

Primenjena matematika

Primenjena matematika koristi saznanja iz matematike kako bi došla do rešenja stvarnih problema.

Primenjena matematika obuhvata:

Matematička fizika	Dinamika fluida	Numerička analiza	Optimizacija	Teorija verovatnoće	Statistika	Kriptografija
Finansijska matematika	Teorija igara	Matematička biologija	Matematička hemija	Matematička ekonomija	Teorija kontrole

Važna oblast primenjene matematike su verovatnoća i statistika koje se bave izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.

Istorija matematike

Glavni članak: Istorija matematike

Istorija matematike se smatra stalno rastućom serijom apstrakcija. Prva apstrakcija, koju dele mnoge životinje, su verovatno bili brojevi: realizacija da kolekcije od dve jabuke i kolekcija od dve pomorandže (na primer) ima nešto zajedničko, naime kvantitet njihovih članova.

Grčki matematičar Pitagora (c. 570 – c. 495. p. n. e.), koji je otkrio Pitagorinu teoremu

Majanski brojeve

Kao što to potvrđuju štapići za brojanje nađenih na kostima, osim sposobnosti da brojanja fizičkih objekata, moguće je da su praistorijski ljudi isto tako mogli da broje apstraktne kvantitete, poput vremena – dana, sezona, godina.

Dokaz za kompleksniju matematiku se ne javljaju do oko 3000. p. n. e., kad Vavilonci i Egipćani počinju da koriste aritmetiku, algebru i geometriju za oporezivanje i druge finansijske proračune, za gradnju i konstrukciju, i za astronomiju. Najranija upotreba matematike je bila u oblastima trgovine, merenja zemljišta, slikanja i tkalačkim obrascima i zapisivanju vremena.

U vavilonskoj matematici elementarna aritmetika (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) su se najranije pojavili sudeći po arheološkim rekordima. Računanje predatira pisanje. Brojevni sistemi su bili mnogobrojni i raznovrsni. Prve poznate zapisane brojeve su ostavili Egipćani u tekstovima tokom Srednjeg kraljevstva kao što je Ahmesov papirus.

Između 600 i 300. p. n. e. Stari Grci su počeli sistematsko izučavanje matematike.

Persijski matematičar el Horezmi ( c. 780–c. 850 ), izumitelj algebre.

Tokom Zlatnog doba islama, a posebno tokom 9. i 10. veka, matematičari su proizveli mnoštvo važnih inovacija gradeći na temeljima grčke matematike: najveći deo tih otkrića su doprinosi persijskih matematičara kao što su el Horezmi, Omar Hajam i Šaraf el Din el Tusi.

Sve do kraja 16. veka glavne grane matematike bile su geometrija, i aritmetika. U 16. veku počela se razvijati algebra, a u 17. veku stvaranje diferencijalnog i integralnog računa označilo je početak intenzivnog razvoja analize, koji je svoj vrhunac postigao u 18. veku. Nastale Teorije diferencijalnih jednačina postale su važno sredstvo u ispitivanju zakona prirode u klasičnoj i nebeskoj mehanici.

Pojavom neeuklidskih geometrija, matematičke logike i teorije skupova u 19. veku započeta je kritička revizija do tada izgrađenih matematičkih teorija, što je bitno uticalo na karakter, metode i načine razvoja matematike 20. veka. U 20. veku, postojeće oblasti su se proširile, a razvijene su i nove oblasti, kao što su teorija verovatnoće, statistika, topologija, apstraktna algebra i druge.

Primena matematike

Danas se matematika jako razvila i ima primene u mnogo grana, kako prirodnih, tako i društvenih nauka. Važna grana primenjene matematike je Statistika (stohastička matematika), koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička matematika izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za više grana matematike koja se velikim delom koriste kao alati u računarskim naukama. Razvijena je i matematička teorija računarstva, kao i niz drugih interdisciplinarnih grana.

Matematika u nastavi

Osnovne koncepcije nastave matematike

mađarski matematičar, Đerđ Poja

Prema Đ. Poji, velikom metodičaru, učenje i nastava matematike zasnivaju se na sledećim osnovnim koncepcijama:

• aktivno učenje,
• motivacija i
• uzastopne faze.

Poja daje paralelu između nastave matematike i trgovine. Nastavnik „prodaje nauku”. Učenik je manje ili više zainteresovani „kupac”. Ako je prodavac u sukobu sa kupcima i potencijalni kupci mogu odustati od trgovine. Među najznačajnijim zadacima prodavca smatra se da zainteresuje kupce za svoju robu. Dobri prodavci postoje zbog svojih kupaca uvažavajući ih i po njima, kupac je uvek u pravu.

Postulati metodike nastave matematike

1. Voditi učenika kroz kontinuiran niz adekvatnih aktivnosti tj.onih aktivnosti koje ne skreću učenika sa razvojnog puta njegove inteligencije.
2. Dopustiti učeniku da sam izgrađuje pojmove, da sam otkriva činjenice i pravila, da uopšte sam rešava svaki problem, dakle da stvaralački radi.
3. Matematičko obrazovanje je dužno da ubrzava, da intenzivira učenikov mentalni razvoj, da maksimalno skraćuje i proširuje spontani razvojni put njegove inteligencije.

Misaoni postupci

Za razumevanje i rešavanje problema u matematici neophodno je da učenik, osim učenja sadržaja matematike, ovlada osnovnim logičkim zakonima i formama mišljenja. Sa navedenim uslovima može se odgovoriti na pitanja: da li se nešto može i kako će se primeniti? Moramo vršiti određena istraživanja da bismo pronašli pravi put ka rešenju služeći se, pre svega, misaonim postupcima i metodama koje nas usmeravaju u istraživanju i omogućuju da brže pronađemo put do rešenja.

1. Analiza – raščlanjavanje objekta istraživanja na sastavne odredbe.
2. Sinteza – objedinjavanje relevantnih odredaba u novu celinu.
3. Apstrakcija – izdvajanje bitnih karakteristika konkretnih pojava i stvaranje novog idealizovanog sistema.
4. Konkretizacija – primena idealizovanog sistema na konkretne pojave.
5. Upoređivanje ili komparacija –otkrivanje sličnosti i razlike između pojava.
6. Analogija – sličnost sadržaja i metoda koje omogućavaju transfer saznanja.
7. Generalizacija ili uopštavanje – misaona operacija kojom se izvesne odredbe pripisuju svim objektima nekog skupa.
8. Specijalizacija – primena zajedničkih odredbi elemenata skupa na njegov pravi podskup.
9. Intuicija – saznanje do koga se nije došlo putem iskustva ili razmišljanjem već naslućivanjem.

Matematika i ostale nauke

Takođe se prilično često pokazalo da razvoj matematike ne mora nužno pratiti razvoj fizike ili neke druge "konkretnije" znanosti, to jest matematika se može razvijati „sama za sebe“", a primjena onoga što se dobije već se nađe tokom godina razvoja drugih nauka (primeri za to nisu odviše jednostavni, ali, recimo, Rimanov prostor je jedan primer za to - razvio se sam po sebi, a primenu je našao tek u teoriji relativnosti)

Matematika u citatima

• "Ne bi li se muzika mogla opisati kao matematika osećaja, a matematika kao muzika razuma? Njihov duh je isti. Tako muzičar oseća matematiku, a matematičar misli muziku. Jedna će pojačati osećaj drugoj kad zasja ljudski um podignut u savršenstvo.", Vladimir Devide
• "Matematika nije nipošto dosadna ili bez mašte, već naprotiv, poput plemenite djevojke koja uzvraća ljubav onom ko je voli i razume", Vladimir Devide
• "Svim ljudima nisu sve stvari potrebne, ali je račun ne samo svima nego i svakome jako potreban. Ko računati ili barem brojiti ne zna, mora se izbrisati iz broja svih ljudi, inače nema prijateljstva među trgovcima, ni ljubavi među susedima, ni sluge u opštini, niti pravednost u pravdi stalno stanovati može!", Platon
• "Matematika je simbol naše intelektualne snage i jamstva da će se ljudski um uvek boriti za uzvišene ciljeve", Danilo Blanuša
• "Znanje kojem teži geometrija je znanje o večnome.", Platon

Vidi još

• Logika
• Diskretna matematika
• Numerička matematika
• Spisak matematičara
• Stereometrija
• Monotonost funkcije
• Geometrijska interpretacija izvoda
• Društvo matematičara Srbije
• Analiza
• Algebra
• Aritmetika
• Geometrija
• Teorija Brojeva
• Logika
• Verovatnoća i statistika
• Numerička matematika
• Veliki matematičari
• Pitagorina teorema
• Rolova teorema
• Lagranžova teorema
• Fermaova teorema

Literatura

• Devlin, Keith (1996). Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe. Scientific American Paperback Library. ISBN 978-0-7167-5047-5. 
• Gillings, Richard (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-24315-3. 
• Pinter, Janoš; Petrović, Nenad; Sotirović, Velimir; Lipovac, Dušan. Opšta metodika nastave matematike (1996 izd.). Sombor: Učiteljski fakultet Sombor. 
• Polya, George. Mathematik und plausibles Schliessen (1988 izd.). Basel: Birkhäuser. 
• Heath, Thomas Little (1981). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. ISBN 978-0-486-24073-2. 
• Kneebone, G. T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. str. 4. ISBN 978-0-486-41712-7. „Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.” 
• Franklin, James (2009). „Philosophy of Mathematics”. Ur.: A.D. Irvine. Philosophy of Mathematics. Elsevier. str. 104. ISBN 978-0-08-093058-9. 
• Ziegler, Günter M. (2011). „What Is Mathematics?”. An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. str. 7. ISBN 978-3-642-19532-7. 
• Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. str. 2.10. ISBN 978-0-07-066753-2. „The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.” 
• Courant, Richard and Herbert Robbins (1996). What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18). ISBN 978-0-19-510519-3. 
• Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (translated by G.B. Jeffery, D.Sc., and W. Perrett, Ph.D). E.P. Dutton & Co., New York. 
• LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Reed, Iris B.; Carpenter, Laurel R.; Harris, Cynthia R. (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. str. 2. ISBN 978-1-4390-4957-0. „Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.” 
• Marcus du Sautoy, A Brief History of Mathematics, BBC Radio 4 (2010).
• Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics. Sixth Edition, Saunders. ISBN 978-0-03-029558-4. 
• Kline, Morris (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1). ISBN 978-0-19-506135-2. 
• Monastyrsky, Michael (2001). „Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal” (PDF). Canadian Mathematical Society. Pristupljeno 28. 7. 2006. 
• John Simpson; Edmund Weiner, ur. (1989). Oxford English Dictionary (2nd izd.). Clarendon Press. ISBN 978-0-19-861186-8. 
• The Oxford Dictionary of English Etymology. 1983. ISBN 978-0-19-861112-7. 
• Pappas, Theoni (1989). The Joy Of Mathematics. Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 978-0-933174-65-8. 
• Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders, ur. „Linear associative algebra”. American Journal of Mathematics (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C.S. Peirce, of the 1872 lithograph izd.). Johns Hopkins University. 4 (1–4): 97—229. JSTOR 2369153. doi:10.2307/2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint. .
• Peterson, Ivars (2001). Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books. ISBN 978-0-8050-7159-7. 
• Popper, Karl R. (1995). „On knowledge”. In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 978-0-415-13548-1. 
• Riehm, Carl (2002). „The Early History of the Fields Medal” (PDF). Notices of the AMS. AMS. 49 (7): 778—782. 
• Sevryuk, Mikhail B. (2006). „Book Reviews” (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (1): 101—109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Pristupljeno 24. 6. 2006. 
• Benson, Donald C. (2000). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14). ISBN 978-0-19-513919-8. 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley; 2nd edition, revised by Uta C. Merzbach, (March 6). ISBN 978-0-471-54397-8. —A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
• Davis, Philip J. and Reuben Hersh (1999). The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14). ISBN 978-0-395-92968-1. 
• Gullberg, Jan (1997). Mathematics – From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 978-0-393-04002-9. 
• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [first published 1856]. Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ASIN B0000BN5SQ. ISBN 978-3-253-01702-5. 
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. – A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online.
• Jourdain, Philip E. B. (2003). The Nature of Mathematics. in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7. 
• Maier, Annaliese, At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy, edited by Steven Sargent, Philadelphia: University of Pennsylvania Press, 1982.
• Ali Akbar Velajati (2016). Istorija kulture i civilizacije islama i Irana (Preveo s persijskog dr Muamer Halilović). Centar za religijske nauke „Kom”. Beograd (pp. 209–259.)

Spoljašnje veze

• Nauka 50: Broj (RTS Obrazovno-naučni program - Zvanični kanal)
• Korak po korak matematika (RTS Obrazovno-naučni program - Zvanični kanal)
• Matematika u srcu (RTS Obrazovno-naučni program - Zvanični kanal)
• Iz života poznatih matematičara: Rene Dekart (RTS Obrazovno-naučni program - Zvanični kanal)
• Iz života poznatih matematičara: Leonard Ojler (RTS Obrazovno-naučni program Zvanični kanal)
• Zlatno doba nauke: Algebra (Aldžazira - Zvanični kanal)
• Naučni feljton: Istorija matematike kod Srba - Koreni 1. epizoda (RTS Obrazovno-naučni-program - Zvanični kanal)
• Istorija nauke: Mihajlo Petrović-Alas (RTS Obrazovno-naučni program - Zvanični kanal)
• Matematika života (RTS Obrazovno-naučni program - Zvanični kanal)
• Matematički portal
• Mathematics on In Our Time at the BBC. (listen now)
• Free Mathematics books Free Mathematics books collection.
• Encyclopaedia of Mathematics online encyclopaedia from Springer, Graduate-level reference work with over 8,000 entries, illuminating nearly 50,000 notions in mathematics.
• HyperMath site at Georgia State University
• FreeScience Library Архивирано на сајту Wayback Machine (12. мај 2015) The mathematics section of FreeScience library
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. A guided tour through the various branches of modern mathematics.
• Cain, George: http://www.math.gatech.edu/~cain/textbooks/onlinebooks.html[ Online Mathematics Textbooks] Архивирано на сајту Wayback Machine (8. март 2009) available free online.
• Tricki Архивирано на сајту Wayback Machine (26. март 2022), Wiki-style site that is intended to develop into a large store of useful mathematical problem-solving techniques.
• Mathematical Structures, list information about classes of mathematical structures.
• Mathematician Biographies. The MacTutor History of Mathematics archive. Extensive history and quotes from all famous mathematicians.
• Metamath. A site and a language, that formalize mathematics from its foundations.
• Nrich, a prize-winning site for students from age five from Cambridge University
• Open Problem Garden, a wiki of open problems in mathematics
• Planet Math. An online mathematics encyclopedia under construction, focusing on modern mathematics. Uses the Attribution-ShareAlike license, allowing article exchange with Wikipedia.
• Some mathematics applets, at MIT
• Weisstein, Eric et al.: Wolfram MathWorld: World of Mathematics. An online encyclopedia of mathematics.
• Patrick Jones' Video Tutorials on Mathematics
• Citizendium: Theory (mathematics).
• Maths.SE A Q&A site for mathematics
• MathOverflow A Q&A site for research-level mathematics
• National Museum of Mathematics, located in New York City