Аркус котангенс

Аркус котангенс је функција инверзна функцији котангенса на интервалу њеног домена [-π/2,π/2]. Користи се за одређивање величине угла када је позната вредност његовог котангенса. Може се дефинисати следећом функцијом:

Аркус котангенс
Основне особине
Парност	непарна
Домен	(-∞,∞)
Кодомен	(-π,0)
Специфичне вредности
Вредност у +∞	0
Вредност у -∞	0
Вредност у 0+	π/2
Вредност у 0-	-π/2
Специфичне особине
Асимптоте	y = 0

$\operatorname {arcctg} \;x=\operatorname {ctg} ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)$

При чему треба важити да је x различито од нуле.

Формуле

Следе неке од формула које се везују за аркус котангенс:

$\operatorname {arcctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$ (правило комплементних углова)

$\operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \;x\!$

$\operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\arctan x,\$ $\ x>0$

$\operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\pi +\arctan x,\$ $\ x<0$

Извод:

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcctg} \;x{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}$

Представљање у форми интеграла:

$\operatorname {arcctg} \;x{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx$

Представљање у форми бесконачне суме:

${\begin{aligned}\operatorname {arcctg} x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}$

Спољашње везе

• Функција arcctg на wolfram.com

Тригонометријске и хиперболичне функције

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)