Trigonometrija

Trigonometrija (grč. τριγονο — trougao i grč. μετρειν — merenje, mera), deo je matematike i geometrije koji se bavi izračunavanjem elemenata trougla pronalaženjem zakonitosti zavisnosti u njihovim odnosima, kao i uspostavljanjem funkcija uglova koje ih definišu. Prvobitno je isključivo izračunavala vrednosti elemenata trougla. Njen prvobitni cilj je danas prevaziđen i primena trigonometrije na osnovu izračunavanja trigonometrijskih funkcija, van svakog posmatranja trougla, učinila je od trigonometrije značajnu oblast matematike i geometrije. Ona je od ogromnog praktičnog značaja u različitim oblastima kao što su inženjerstvo, arhitektura, geodezija, navigacija i astronomija. Trigonometrijske funkcije imaju posebno važnu ulogu u matematičkoj analizi i koriste se za predstavljanje talasa i drugih periodičnih pojava.

Sve trigonometrijske funkcije ugla θ se mogu geometrijski konstruisati u smislu jediničnog kruga sa centrom u O.

Poreklo

Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije. Tamo je nađena vavilonska kamena ploča (oko 1900—1600. p. n. e.) koja sadrži probleme sa relacijama koje odgovaraju savremenom $\sec ^{2}$. Egipatski papirus Rind (oko 1650. p. n. e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla primenjenim na piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali naše shvatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova, pre nego samih uglova.

Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme Hipokrata iz Kiosa (Elementi, oko 430. p. n. e.), koji je proučavao odnose između centralnih uglova kružnice i tetiva. Hiparh je 140. p. n. e. napravio tablicu tetiva (prvu preteču savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Aleksandrije (Sferna geometrija, oko 100. nove ere) je prvi koristio sferne trouglove i sfernu trigonometriju. Ptolemej (Almagest, oko 100. n. e.) je napravio tablicu tetiva uglova između 0,5° i 180° sa intervalom od pola stepena. On je takođe istraživao trigonometrijske identitete.

Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su ostvarili napredak razmeštanjem tetiva preuzetih od Grka na polu tetive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentom našoj sinusnoj funkciji. Prve takve tablice bile su u Sidhantasu (sistem za astronomiju) u IV i V veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematičara preko arapskih matematičara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uveli su trigonometriju u Evropu.

Osoba odgovorna za „modernu“ trigonometriju bio je renesansni matematičar Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alat za astronomska izračunavanja. Regiomontanus (De triangulis omni modis, 1464; publikovano 1533) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium (1543) i njegov učenik Retikus. U Opus palatinum de trianulis (kompletirao njegov učenik 1596), Retikus je ustanovio upotrebu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija, praveći tablice njihovih vrednosti, i držeći se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglom trouglu (radije nego tradicionalne polu-tetive krugova).

Moderna analitička geometrija datira od vremena Fransoe Vijeta, koji je uradio tablice šest funkcija do najbliže minute (1579). Vijeta je takođe izveo formulu za proizvod, tangensnu formulu i formule za više uglova. Krajem XV veka je prvi put upotrebljen naziv „trigonometrija“.

Podela

Trigonometrija se deli na sledeće tri oblasti:

1. Ravanska trigonometrija, trigonometrija u užem smislu; proučava
   • Trigonometrijske funkcije, posebno:
     • sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans;
   • Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. ciklometrijske, ili arkus-funkcije:
2. Sferna trigonometrija, na površi sfere;
3. Hiperbolička trigonometrija, trigonometrija Lobačevskog;
   • Hiperboličke funkcije:
     • sinus hiperbolički, kosinus hiperbolički, tangens hiperbolički, kotangens hiperbolički, sekans hiperbolički i kosekans hiperbolički;
   • Inverzne hiperboličke funkcije, tzv. area-funkcije.

Animacije grafičkog prikaza nekih trigonometrijskih funkcija

• 
  Animacija grafičkog prikaza funkcije sinus u trigonometrijskom krugu y = sin(x)
• 
  Animacija grafičkog prikaza funkcije tangens u trigonometrijskom krugu y = tg(x)
• 
  Animacija grafičkog prikaza funkcije kosekans u trigonometrijskom krugu y = cosec(x)
• 
  Animacija grafičkog prikaza funkcija sinus i kosinus u trigonometrijskom krugu y = cos(x)

Osnovna linija razvoja trigonometrija bila je primena u geometrijskim istraživanjima. Razvoj prve i druge od nabrojanih trigonometrija išao je uz Euklidsku ravan, tj. elementarna geometrija i površinu sfere, a treća od trigonometrija je bar u početku (XIX vek) bila vezana za otkrića neeuklidskih geometrija, (geometrija Lobačevskog, zatim Rimanova geometrija). Primene trigonometrija danas su daleko šire.

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije su funkcije ugla: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans. Ponekad ih nazivamo trigonometrijskim odnosima. Za tangens ćemo ovde koristiti uobičajenu anglosaksonsku oznaku tan, mada se u srpskom govornom području češće koristi tg; isto tako, za kotangens, umesto ctg pisaćemo cot, a za kosekans, koji se na srpskim univerzitetima slabije koristi, zajedno sa anglosaksonskim csc pišemo i cosec. Ostale navedene trigonometrijske funkcije imaju iste skraćenice u većem delu sveta. Danas se veoma retko sreću još dva naziva trigonometrijskih funkcija: sinus versus i kosinus versus.

Pravougli trougao

Na slici 1. je figura: pravougli trougao $ABC$, sa istoimenim stranicama (mala slova abecede) nasuprot temena (velika slova) i uglom alfa (malo grčko slovo $\alpha$) u temenu $A$. Dakle, naspramna kateta temenu $A$ je $a$, nalegla kateta je $b$, hipotenuza je $c$. Definišemo osnovne četiri trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens i kotangens, istog ugla alfa.

Sl.1. Pravougli trougao

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}},\quad \cos \alpha ={\frac {b}{c}}$,

$tg\alpha ={\frac {a}{b}},\quad ctg\alpha ={\frac {b}{a}}$.

Postoje još dve osnovne trigonometrijske funkcije ugla, kosekans i sekans:

$\csc \alpha ={\frac {c}{a}},\quad \sec \alpha ={\frac {c}{b}}$.

Kosekans se kod nas češće piše cosec α. Kao što je definisano, tri od ovih funkcija su recipročne ostalim tri:

$\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }},\quad \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},\quad \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}$.

Iz istih definicija izvodimo:

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\quad \cot \alpha ={\frac {\csc \alpha }{\sec \alpha }},\quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$.

Sledeće osnovne relacije, koje se nazivaju osnovni trigonometrijski identiteti, ili Pitagorini identiteti, zasnovane su na Pitagorinoj teoremi:

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,\quad 1+\tan ^{2}\alpha =\sec ^{2}\alpha ,\quad 1+\cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\alpha$.

Osnovni uglovi

Vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove se mogu dobiti jednostavno iz jednakostraničnog trougla i kvadrata, koji imaju uglove 60°, 30°, 45°.

Sl.2. Jednakostranični trougao

Na slici (2.) imamo figuru jednakostraničnog trougla ABC stranica dužine a. Njegovi unutrašnji uglovi su po 60°, a ugao u temenu C između visine i stranice je 30°. Visina CD ima dužinu $h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$, što se lako dobija primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao ADC. Iz istog pravouglog trougla nalazimo vrednosti:

$\sin 60^{o}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\quad \cos 60^{o}={\frac {1}{2}},\quad \tan 60^{o}={\sqrt {3}},\quad \cot 60^{o}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$,

$\sin 30^{o}={\frac {1}{2}},\quad \cos 30^{o}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\quad \tan 30^{o}={\frac {\sqrt {3}}{3}},\quad \cot 30^{o}={\sqrt {3}}$.

Sl.3. Kvadrat

Na sledećoj slici (3.) je kvadrat stranice a. Temena AC spojena su dijagonalom $d=a{\sqrt {2}}$, što se lako dobije primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao ABC. U istom pravouglom trouglu nalazimo:

$\sin 45^{o}={\frac {\sqrt {2}}{2}},\quad \cos 45^{o}={\frac {\sqrt {2}}{2}},\quad \tan 45^{o}=1,\quad \cot 45^{o}=1$.

Trigonometrijska kružnica

Trigonometrijske funkcije ugla α se mogu definisati i pomoću trigonometrijske kružnice. Trigonometrijska kružnica je poluprečnika 1 sa centrom u ishodištu koordinatnih osa. Na slici dalje (Sl.4.) poluprečnici OA, OC i OE su jedinične dužine. Tačka O je ishodište koordinatnog sistema, ovde Dekartovog pravouglog. Ugao α je AOC, gde je krak OA nepokretan. Apscisa i ordinata (horizontalna i vertikalna osa brojeva) su kosinusna i sinusna osa. Tangensna i kotangensna osa se definišu kao tangente na trigonometrijsku kružnicu u krajnjoj tački desno, odnosno gore. Ishodište tangensne ose na slici bi bila tačka A, a kotangensne E. Upoređivanjem kružnice (Sl.4), $OA=OC=1$, i pravouglog trougla (Sl.1.), nalazimo:

Sl.4. Trigonometrijska kružnica

$\sin \alpha =BC={\frac {a}{c}},\quad$ sinus ugla alfa;

$\cos \alpha =OB={\frac {b}{c}},\quad$ kosinus;

$\tan \alpha =AD={\frac {a}{b}},\quad$ tangens;

$\cot \alpha =EF={\frac {b}{a}},\quad$ kotangens;

$\sec \alpha =OD={\frac {c}{b}},\quad$ sekans;

$\csc \alpha =OF={\frac {c}{a}},\quad$ kosekans.

Međutim, na trigonometrijskoj kružnici možemo dosledno definisati vrednosti trigonometrijskih funkcije za uglove 0°, 90°, pa i za ostale. Projekcija tačke C na kosinusnu osu (tačka B) je kosinus ugla α, a sinus je projekcija tačke C na sinusnu (obično Y) osu. Produžetak pokretnog kraka OC datog ugla preseca tangensnu (tačka D) i kotangensnu osu (tačka F) u vrednostima tangensa i kotangensa tog ugla.

Znak trigonometrijske funkcije

Kvadrant	Veličina ugla	sin	cos	tan	cot	sec	csc
I	od 0° do 90°	+	+	+	+	+	+
II	od 90° do 180°	+	-	-	-	-	+
III	od 180° do 270°	-	-	+	+	-	-
IV	od 270° do 360°	-	+	-	-	+	-

Merenje ugla

Uglove merimo u stepenima - uobičajenim u praksi, u radijanima - uobičajenim u teoriji, i retko u gradima (lat. Gradus - korak, stepen, stupanj):

• Stepen je 90-ti deo pravog ugla, ugao od jednog stepena označava se 1°. Prema tome, pun ugao je 360°, ispružen ugao je 180°.
• Radijan je centralni ugao nad lukom trigonometrijske kružnice čija je dužina jednaka radijusu. Kako pun ugao odgovara dužini cele kružnice (obimu) $2\pi r$, jedan radijan ima ${\frac {360^{o}}{2\pi }}=57^{o}17'44''$ s tačnošću od 1". Obratno, 1 radijan = 57,3°.
• Grad je stoti deo pravog ugla, piše se p. Jedan grad se deli na sto delova koji se nazivaju metričke minute (1') i čiji se stoti deo naziva metrička sekunda (1"). Grad kao jedinica mere bio je uveden zajedno sa metarskim sistemom mera krajem XVIII veka. Međutim, grad nije postigao široku primenu u praksi.

Vrednosti trigonometrijskih funkcija osnovnih uglova

Stepen	Radijan	sin	cos	tan	cot	sec	csc
0°	0	0	1	0	∞	1	∞
30°	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {(}}3)}{3}}$	2
45°	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	1	1	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$
60°	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	2	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
90°	${\frac {\pi }{2}}$	1	0	∞	0	∞	1

Osnovne trigonometrijske formule

Funkcije jednog ugla

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,\quad {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha ,\quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha =1$,

$\sec ^{2}\alpha -\tan ^{2}\alpha =1,\qquad \cos \alpha \cdot \sec \alpha =1$,

$\csc ^{2}\alpha -\cot ^{2}\alpha =1,\quad {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\cot \alpha ,\quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$

Međusobno izražavanje funkcija

$\sin \alpha ={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}},$

$\cos \alpha ={\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}},$

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}={\frac {1}{\cot \alpha }},$

$\cot \alpha ={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}{\sin \alpha }}={\frac {1}{\tan \alpha }}.$

Funkcije zbira i razlike

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,\,$

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,$

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }},\quad \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}.$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},\tan 3\alpha ={\frac {3\tan \alpha -\tan ^{3}\alpha }{1-3\tan ^{2}\alpha }},$

Funkcije višekratnog ugla

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,\quad \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha ,\quad \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},\quad \tan 3\alpha ={\frac {3\tan \alpha -\tan ^{3}\alpha }{1-3\tan ^{2}\alpha }},$

$\cot 2\alpha ={\frac {\cot ^{2}\alpha -1}{2\cot \alpha }},\quad \cot 3\alpha ={\frac {\cot ^{3}\alpha -3\cot \alpha }{3\cot ^{2}\alpha -1}},$

$\tan 4\alpha ={\frac {4\tan \alpha -4\tan ^{3}\alpha }{1-6\tan ^{2}\alpha +\tan ^{4}\alpha }},\quad \cot 4\alpha ={\frac {\cot ^{4}\alpha -6\cot ^{2}\alpha +1}{4\cot ^{3}\alpha -4\cot \alpha }}.$

Za veće n prikladnija je Moavrova formula za kompleksan broj, razvijena u binomni red:

$\cos n\alpha +i\sin n\alpha =(\cos \alpha +i\sin \alpha )^{n}=\,$

$\cos ^{n}\alpha +in\cos ^{n-1}\alpha \sin \alpha -C_{n}^{2}\cos ^{n-2}\alpha \sin ^{2}\alpha --iC_{n}^{3}\cos ^{n-3}\alpha \sin ^{3}\alpha +C_{n}^{4}\cos ^{n-4}\alpha \sin ^{4}\alpha +...,$

gde je $C_{n}^{k}=C(n,k)={n \choose k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ binomni koeficijent.

Otuda je:

$\cos n\alpha =\cos ^{n}\alpha -C_{n}^{2}\cos ^{n-2}\alpha \sin ^{2}\alpha +C_{n}^{4}\cos ^{n-4}\alpha \sin ^{4}\alpha -C_{n}^{6}\cos ^{n-6}\alpha \sin ^{6}\alpha +...,$

$\sin n\alpha =n\cos ^{n-1}\alpha \sin \alpha -C_{n}^{3}\cos ^{n-3}\alpha \sin ^{3}\alpha +C_{n}^{5}\cos ^{n-5}\alpha \sin ^{5}\alpha -....$

Zbir i razlika funkcija

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}},$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}},$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}},$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}},$

$\tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }},\quad \cot \alpha \pm \cot \beta =\pm {\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\sin \alpha \sin \beta }},$

$\tan \alpha +\cot \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }},\quad \cot \alpha -\tan \beta ={\frac {cos(\alpha +\beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}.$

Proizvod funkcija

$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )],$

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta )],$

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )].$

Funkcije polovine ugla

$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},$

$\tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},$

$\cot {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}.$

Stepenovanje funkcija

$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha ),\quad \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha ),$

$\sin ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(3\sin \alpha -\sin 3\alpha ),\quad \cos ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(\cos 3\alpha +3\cos \alpha ),$

$\sin ^{4}\alpha ={\frac {1}{8}}(\cos 4\alpha -4\cos 2\alpha +3),\quad \cos ^{4}\alpha ={\frac {1}{8}}(\cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3).$

Za računanje $\sin ^{n}\alpha \,$ i $\cos ^{n}\alpha \,$ pri većem n možete poći od Moavrove formule.

Sinusoide

Sl.5. Harmonijski talas

U mnogim problemima mehanike i fizike razmatraju se veličine koje zavise od vremena t i izražavaju se formulom:

$u=a\sin(\omega t+\phi );\qquad (*)$

takve veličine nazivamo sinusnim, a njihove vremenske promene - harmonijski talas. Graf funkcije desno je opšta sinusoida (Sl.5.), koja se od obične sinusoide ($y=\sin x$) razlikuje po ovome:

1. njena amplituda (širina njihaja), tj. najveći otklon od ose t, je $a$;
2. njen period $T$ (talasna dužina) je ${\frac {2\pi }{\omega }}$, gde ω nazivamo frekvencijom talasa;
3. njena početna faza je ugao φ.

Veličinu (*) možemo predstaviti u obliku:

$r=A\sin \omega t+B\sin \omega t,\qquad (**)$

gde je $a={\sqrt {A^{2}+B^{2}}},\quad \tan \phi ={\frac {B}{A}};$ veličine $A,\;B,\;a,\;\phi$ možemo predstaviti elementima pravouglog trougla (Sl.6.).

Sabiranje sinusoida

Sl.6. Trougao sinusoide

Zbir dve sinusne veličine jednakih frekvencija ω takođe je sinusna veličina iste frekvencije:

$A_{1}\sin(\omega t+\phi _{1})+A_{2}\sin(\omega t+\phi _{2})=A\sin(\omega t+\phi ),\,$

pri čemu je:

$A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\phi _{2}-\phi _{1})}},$

$\tan \phi ={\frac {A_{1}\sin \phi _{1}+A_{2}\sin \phi _{2}}{A_{1}\cos \phi _{1}+A_{2}\cos \phi _{2}}}.$

Linearna kombinacija nekoliko sinusnih veličina s jednakom frekvencijom je sinusna veličina iste frekvencije:

$\sum _{i}{c_{i}A_{i}\sin(\omega t+\phi _{i})}=A\sin(\omega t+\phi );\,$

$A\,$ i $\phi \,$ je moguće grafički predstaviti u vektorskom dijagramu.

Rešavanje trougla

Zbog obima teme ovde navodimo samo formule. Još neke definicije pojmova koji slede možete potražiti u prilogu planimetrija.

Pravougli trougao

U pravouglom trouglu: sin A = a/c; cos A = b/c; tg A = a/b

Stranice $a$ i $b$ su katete, $c$ je hipotenuza; $A,\;B$ su uglovi nasuprot stranicama $a,\;b$.

Osnovni odnosi: $a=c\sin A=c\cos B,\quad a=b\tan A=b\cot B$

Osnovni zadaci:

1. Zadato je $c,\;A.$ Izračunavamo $B=90^{o}-A,\;a=c\sin A,\;b=c\cos A.$
2. Zadato je $a,\;c.$ Izračunavamo $B=90^{o}-A,\;b=a\cot A,\;c={\frac {a}{\sin A}}.$
3. Zadato je $a,\;c.$ Izračunavamo $\sin A={\frac {a}{c}},\;b=ccosA,\;B=90^{o}-A.$
4. Zadato je $a,\;b.$ Izračunavamo $\tan A={\frac {a}{b}},\;c={\frac {a}{\sin A}},\;B=90^{o}-A.$

Kosougli trougao

$a,\;b,\;c$ su stranice, $A,\;B,\;C$ su uglovi nasuprot stranicama, P je površina, R je poluprečnik opisane kružnice, r je poluprečnik upisane kružnice, s je poluobim $s={\frac {a+b+c}{2}}.$ Poluobim ponekad označavamo i sa p.

Osnovne teoreme:

• ${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R\;$ sinusna teorema,
• $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\;$ kosinusna teorema,
• ${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {A+B}{2}}}{\tan {\frac {A-B}{2}}}}\;$ tangensna teorema.

Površina trougla:

• $P={\frac {ab\sin C}{2}},\quad P={\frac {abc}{4R}},$
• $P=2R^{2}\sin A\sin B\sin C,\quad P=rs,$
• $P={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\;$ Heronov obrazac.

Važne duži trougla:

• Visina na stranicu $a:\quad h_{a}=b\sin C=c\sin B.$
• Težišnica na stranicu $a:\quad t_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+2bc\cos A}}.$
• Simetrala ugla $A:\quad l_{A}={\frac {2bc\cos {\frac {A}{2}}}{b+c}}.$
• Poluprečnik opisane kružnice: $R={\frac {a}{2\sin A}}={\frac {b}{2\sin B}}={\frac {c}{2\sin C}}.$
• Poluprečnik upisane kružnice:
  • $r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},$
  • $r=s\tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {C}{2}},$
  • $r=4R\sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}.$

Osnovni zadaci:

1) Zadane su stranica i dva ugla $a,\;A,\;B.$ Izračunavamo

$C=180^{o}-A-B,\quad b={\frac {a\sin B}{\sin A}},\quad c={\frac {a\sin C}{\sin A}},\quad P={\frac {1}{2}}ab\sin C.$

2) Dve stranice i ugao među njima $a,\;b,\;C.$ Izračunavamo

$\tan {\frac {A-B}{2}}={\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {C}{2}},\quad {\frac {A+B}{2}}=90^{o}-{\frac {1}{2}}C,$

zatim iz $A+B,\;A-B$ nalazimo $A,\;B,$ i

$c={\frac {a\sin C}{\sin A}},\quad P={\frac {1}{2}}ab\sin C.$

3) Dve stranice i ugao nasuprot jedne od njih $a,\;b,\;A.$ Izračunavamo

$\sin B={\frac {b\sin A}{a}}.$ Zatim, ako je $a\geq b,$ onda je $B<90^{o}$ i ima samo jednu vrednost; ako je $A<B$ onda:

• 1. B ima dve vrednosti za $b\sin A<a\;(B_{2}=180^{o}-B_{1}).$
  2. B ima jednu vrednost (90°) za $b\sin A=a.\,$
  3. Trougao je nemoguć za $b\sin A>a.\,$

$C=180^{o}-(A+B),\quad c={\frac {a\sin C}{\sin A}},\quad P={\frac {1}{2}}ab\sin C.$

4) Tri stranice $a,\;b,\;c.$ Izračunavamo

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},$

$\tan {\frac {A}{2}}={\frac {r}{s-a}},\quad \tan {\frac {B}{2}}={\frac {r}{s-b}},\quad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {r}{s-c}},$

$P=rs={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Ciklometrijske funkcije (arkus)

Arkus-funkcijama od h (inverznim trigonometrijskim) nazivamo veličine y merene u radijanima, određene jednačinama:

$y=\arcsin x\,$ (arkus-sinus), ako je $x=\sin y,\,$

$y=\arccos x\,$ (arkus-kosinus), ako je $x=\cos y,\,$

$y=\arctan x\,$ (arkus-tangens), ako je $x=\tan y,\,$

$y=\operatorname {arccot} x\,$ (arkus-kotangens), ako je $x=\cot y.\,$

Primeri

1) $\arcsin 0=0\,$ ili $\pi \,$ ili $2\pi \,$, uopšte $\arcsin 0=k\pi ,\,$

2) $\arccos {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}$ ili $-{\frac {\pi }{3}}$ ili ${\frac {\pi }{3}}+2\pi ,$ uopšte $\arccos {\frac {1}{2}}=\pm {\frac {\pi }{3}}+2k\pi ,$

3) $\arctan 1={\frac {\pi }{4}}$ ili ${\frac {5\pi }{4}},$ uopšte $\arctan 1={\frac {\pi }{4}}+k\pi .$

Glavne vrednosti

Arkus funkcije su višeznačne; njihove glavne vrednosti su ograđene. Označavamo ih sa arc sin x, arc cos x, arc tan x, arc cot x, (poslednje dve, mi često označavamo arc tg x, arc ctg x).

$-{\frac {\pi }{2}}\leq \arcsin x\leq {\frac {\pi }{2}},$

$0\leq \arccos x\leq +\pi ,$

$-{\frac {\pi }{2}}<\arctan x<+{\frac {\pi }{2}},$

$0<\operatorname {arccot} x<\pi .\,$

Izražavanje jednih arkus-funkcija s drugima

Sledeće formule tačne su samo za glavne vrednosti arkus-funkcija, a formule u uglastim zagradama samo za pozitivne vrednosti h (jer su granice glavnih vrednosti različito određene za razne funkcije).

$\arcsin x=-\arcsin(-x)={\frac {\pi }{2}}-\arccos x=[\arccos {\sqrt {1-x^{2}}}]=$

$=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left[\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right],$

$\arccos x=\pi -\arccos(-x)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x=[\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}]=$

$=\left[\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right]=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

$\arctan x=-\arctan(-x)={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}=$

$=\left[\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right]=\left[\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}\right],$

$\operatorname {arccot} x=\pi -\operatorname {arccot}(-x)={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=$

$=\left[\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right]=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}=\left[\arctan {\frac {1}{x}}\right].$

Osnovni odnosi

Uvedimo oznaku $f(\pm )=\arcsin(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}),$ gde "+", odnosno "-" idu u paru. Tada je:

$\arcsin x+\arcsin y=f(+),\quad [xy\leq 0\vee x^{2}+y^{2}\leq 1]$

$=\pi -f(+),\quad [x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1]$

$=-\pi -f(+),\quad [x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1],$

$\arcsin x-\arcsin y=f(-),\quad [xy\geq 0\vee x^{2}+y^{2}\leq 1]$

$=\pi -f(-),\quad [x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1]\,$

$=-\pi -f(-),\quad [x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1].$

Označimo sa $g(\pm )=\arccos(xy\pm {\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}),$ gde "+", odnosno "-" idu u paru. Tada je:

$\arccos x+\arccos y=g(-),\quad [x+y\geq 0]$

$=2\pi -g(-),\quad [x+y<0],$

$\arccos x-\arccos y=-g(+),\quad [x\geq y]$

$=g(+),\quad [x<y].$

Uvedimo oznake $h(\pm )=\arctan {\frac {x\pm y}{1\mp xy}},$ gde gornji znak "+" ili "-" ide sa gornjima. Tada važi:

$\arctan x+\arctan y=h(+),\quad [xy<1]$

$=\pi +h(+),\quad [x>0,xy>1]$

$=-\pi +h(+),\quad [x<0,xy>1],$

$\arctan x-\arctan y=h(-),\quad [xy>-1]$

$=\pi +h(-),\quad [x>0,xy<-1]$

$=-\pi +h(-),\quad [x<0,xy<-1].$

Uvedimo oznaku $u=\arcsin(2x{\sqrt {1-x^{2}}}).$ Važe sledeće jednakosti:

$2\arcsin x=u,\quad \left[|x|\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]$

$=\pi -u,\quad \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}<x\leq 1\right]$

$=-\pi -u,\quad \left[-1\leq x<-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right].$

$2\arccos x=\arccos(2x^{2}-1),\quad [0\leq x\leq 1]$

$=2\pi -\arccos(2x^{2}-1),\quad [-1\leq x<0].$

Uvodimo smenu $t=\arctan {\frac {2x}{1-x^{2}}},$ pa važe jednakosti:

$2\arctan x=t,\quad [|x|<1]$

$=\pi +t,\quad [x>1]$

$=-\pi +t,\quad [x<-1].$

Konačno, $\cos(n\arccos x)=2^{n-1}T_{n}(x),\;(n\geq 1),$

pri čemu $n\,$ ne mora biti ceo broj; $T_{n}(x)\,$ se određuje jednačinom:

$T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2^{n}}}.$

Ako je $n\,$ ceo broj, $T_{n}(x)\,$ je polinom od h (polinom Čebiševa).

Literatura

• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Trigonometric functions”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy. Cambridge University Press.
• Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.

Spoljašnje veze

• Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures
• Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License Arhivirano na sajtu Wayback Machine (29. jul 2013)